Den afledte af sinus af vinklen er lig med cosinus til den samme vinkel

Dana enkel trigonometri funktionen y = sin (x), er differentiabel i hvert punkt i hele domænet. Vi skal bevise, at den afledte af sinus af et argument er lig med cosinus til den samme vinkel, det vil sige '= Cos (x).

Beviset er baseret på definitionen af et afledte funktion

Vi definerer x (arbitrære) i nogle lille kvarter af et bestemt punkt x Ah _0. Vi vil vise funktionen værdien i det, og på det punkt x for at finde den tilvækst af en given funktion. Hvis Ah - argument inkrementeret, den nye argument - dette x ₀ + Ax = x, værdien af denne funktion for en given værdi af argumentet (x) er lig Sin (x ₀ + Ax), funktionsværdien på et bestemt punkt (x ₀₎ er også kendt .

Nu har vi Au = Sin (x ₀ + Ah) -sin (x ₀₎ - fremstillet tilvækst funktion.

Ifølge formlen for sinus summen af to ulige vinkler vil vi konvertere forskellen Au.

Au = Sin (x ₀₎ · Cos (Ah) + Cos (x ₀₎ · Sin (Ax) minus Sin (x ₀₎ = (Cos (Ax) -1 ) · Sin ( x ₀₎ + Cos (x ₀₎ · Sin (Ah).

Udført permutation vilkår grupperet første til tredje Sin (x _0), taget ud af den fælles faktor - sinus - beslagene. Vi modtog i udtrykket Cos forskel (Ah) -1. Det venstre for at ændre tegnet foran parentesen og beslag. At vide, hvad der er den 1-Cos (Ah), vi foretage ændringen og opnå en forenklet udtryk Au, som derefter divideres med Ah.
Au / Ah vil have formen: Cos (x ₀₎ · Sin (Ah) / Ah 2 · Sin ² (0,5 x Ah) · sin (x ₀₎ / Ah. Dette er forholdet mellem forøgelsen af funktionen til optagelse til forøgelsen af argumentet.

Det er fortsat at finde grænsen for forholdene er opnået ved os i et begrænset Ah, tendens til nul.

Det er kendt, at grænsen Sin (Ah) / Ax er lig med 1, på den betingelse. Og ekspressionen 2 · Sin ² (0,5 x Ah) / Ah i de resulterende sum særlige transformationer til produkt, der som første multiplikator bemærkelsesværdige grænse: tælleren af fraktionen og znemenatel dividere med 2, kvadratet på sinus erstatte produktet. Sådan gør du:
(Sin (0,5 · Ax) / (0,5 · Ax)) · Sin (Ax / 2).
Grænsen for dette udtryk, når Ah tendens til nul, vil være lig med antallet af nul (0 multipliceret med 1). Det viser sig, at grænse for forholdet Ay / Ah er Cos (x ₀₎ · 1-0, dette er Cos (x _0), hvis ekspression er uafhængig af Ah tendens til 0. Konklusionen: differentialkvotienten af sinus af enhver vinkel er lig med x cosinus til x kan skrives som: y '= Cos (x).

Den resulterende formel er angivet i tabellen over de kendte derivater, hvor alle de elementære funktioner

Ved at løse problemer, hvor han møder den afledte af sinus, kan du bruge reglerne for differentiering og færdige formler i tabellen. For eksempel: finde differentialkvotienten af de enkleste funktionen y = 3 · sin (x) -15. Vi bruger den elementære afledningen regler fjernelse numerisk faktor for tegn på derivatet og beregne differentialkvotienten konstant antal (som er nul). Anvende en sinus tabelværdi af derivatet af vinklen x lig Cos (x). Modtage svaret: y '= 3 · Cos (x) -O. Dette derivat, til gengæld er også en elementær funktionen y = H · Cos (x).

Den afledte af sinus kvadreret af ethvert argument

Ved beregningen af udtrykket (Sin ² (x)) 'skal huske på, hvor differentieret kompleks funktion. Så ² = sin (x) - er en magt funktion som sinus potens. Dens argument er også en trigonometrisk funktion, en kompleks argument. Resultatet i dette tilfælde er lig med produktet af den første multiplikator er et kvadrat af komplekset derivat af argumentet, og den anden - den afledte af sinus. Her er reglen for at differentiere en funktion af en funktion: (u (v (x))) 'er (u (v (x)))' · (v (x))'. Ekspression af v (x) - en kompleks argument (intern funktion). Hvis given funktion "y lig sinus kvadreret x", derefter den afledte af denne sammensatte funktion er y '= 2 · sin (x) · Cos (x). Produktet fra den første multiplikator fordoblet - derivat kendt eksponentiel funktion, og Cos (x) - derivat sinus kompleks argument af den kvadratiske funktion. Det endelige resultat kan transformeres ved anvendelse af formlen for den trigonometriske sinus af dobbelt vinkel. A: Derivatet er Sin (2 · x). Denne formel er let at huske, det er ofte brugt som et bord.