Det er tangent til cirklen? Egenskaber af tangenten til cirklen. Den fælles tangent til de to cirkler

Secants, tangenter - alt dette hundredvis af gange kunne høres på geometri lektioner. Men spørgsmålet om skole bag, passere året, og al denne viden glemt. Hvad skal jeg huske?

essens

Udtrykket "tangent til cirklen" tegn, måske, alt. Men det er usandsynligt, at alle hurtigt vil formulere en definition. I mellemtiden kaldes en tangent liggende i samme plan som cirkel, som skærer det på et sted. Deres utal kan eksistere, men de har alle de samme egenskaber, som vil blive diskuteret i det følgende. Som du kan gætte, kontaktpunktet henvist til det sted, hvor cirklen og linjen skærer hinanden. I hvert tilfælde er det en, hvis der er mere, så vil det være tværgående.

Historien om opdagelsen og studiet

Begrebet en tangent dukkede op i oldtiden. Konstruktionen af disse linjer til den første cirkel, og derefter til de ellipser, parabler og hyperbler med en lineal og et kompas holdes stadig i de tidlige stadier af udviklingen af geometri. Selvfølgelig har historien ikke bevaret navnet på opdageren, men det er klart, at selv på det tidspunkt folk var kendt egenskaber tangerer cirklen.

I moderne tid er interessen for dette fænomen brød ud igen - begyndte en ny runde af undersøgelsen af dette begreb i forbindelse med åbningen af nye kurver. Således Galileo indført begrebet cycloid og Fermat og Descartes bygget en tangent til det. Med hensyn til de kredse, synes det, er for de gamle hemmeligheder tilbage i dette område.

egenskaber

Radius henledes på skæringspunkt vil være vinkelret på den linje. dette vigtigste, men ikke den eneste ejendom, der er tangent til cirklen. Et andet vigtigt element indeholder allerede to lige. Så gennem et enkelt punkt, som ligger uden for cirklen, er det muligt at trække to tangenter, og deres længder er lige. Der er en anden sætning om dette emne, men det er sjældent afholdes inden for rammerne af den standard skole selvfølgelig, men det er meget nyttigt til at løse visse problemer. Det går som følger. Fra et punkt uden for en cirkel, tegne en tangent og sekant til det. Formede segmenter AB, AC og AD. A - skæringspunktet mellem linjerne, B tangentielpunktet, C og D - passage. I dette tilfælde den følgende ligning er gyldig: længden af tangenten til cirklen, kvadreret, er lig med produktet af segmenterne AC og AD.

Ud fra det foregående, er der en vigtig konsekvens. For hvert punkt på cirklen, kan du bygge en tangent, men kun én. Beviset på dette er ganske enkel: i teorien ned til det vinkelret fra radius, finder vi ud af, at der dannes en trekant ikke kan eksistere. Og det betyder, at tangenten - den eneste.

bygning

Blandt andre opgaver i geometri er en særlig kategori, som regel, ikke er elsket af elever og studerende. For at løse de opgaver denne kategori kun har brug for et kompas og en lineal. Det er en opgave for bygningen. Der de bygger på en tangent.

Så givet en cirkel og et punkt, der ligger uden for dets grænser. Og du skal navigere gennem dem tangent. Hvordan gør du det? Først og fremmest, er du nødt til at tilbringe intervallet mellem midten af cirklen O og sæt punkt. Så med hjælp af et kompas skal opdele det i halve. For at gøre dette, skal du indstille radius - lidt mere end halvdelen af afstanden mellem midten af cirklen og det oprindelige punkt. Så har du brug for at bygge to krydsende buer. Radius på ændringen bør ikke være kompasset, og midten af hver side af cirklen bliver det oprindelige punkt og O, henholdsvis. Steder buer kryds brug for at forbinde denne sektion skåret i halve. Spørg på kompasset radius lig med afstanden. Endvidere med centrum i skæringspunktet for at opbygge en anden cirkel. Det vil være baseret på både det oprindelige punkt, og O. I dette tilfælde vil der være to kryds med dette problem i en cirkel. At de vil være kontaktpunkter for den oprindeligt angivne punkt.

interessant

Det er ved at bygge en tangent til cirklen førte til fødslen differentialregning. Det første værk om dette emne blev offentliggjort af den berømte tyske matematiker Leibniz. Det gav mulighed for at finde den maksima, minima og tangenter, uanset de brøkdele og irrationelle mængder. Nå, nu er det bruges til mange andre beregninger.

Desuden tangenten til cirklen i forbindelse med den geometriske tangent forstand. Det er fra denne, og dens navn kommer. Oversat fra latin tangens - "tangent". Dette begreb er derfor ikke kun en geometri og differentialregning, men med trigonometri.

to cirkler

Ikke altid tangenten zatragivet kun ét tal. Hvis du kan tilbringe rigtig mange linjer til en cirkel, så hvorfor ikke omvendt? Muligt. Det er bare det problem i dette tilfælde er alvorligt kompliceret, fordi den tangent til de to cirkler ikke kan passere gennem ethvert punkt, og den relative position af alle disse tal kan være meget anderledes.

Typer og sorter

Når det kommer til de to cirkler og en eller flere linjer, så selv hvis du ved, at det handler om, er ikke umiddelbart klart, hvordan alle disse stykker er anbragt i forhold til hinanden. På dette grundlag er der flere sorter. Så kan cirklen have en eller to fælles punkter, eller slet ingen. I det første tilfælde vil de overlapper, og den anden - at røre ved. Og her er to varianter. Hvis en cirkel, som det var indlejret i den anden, er et tryk kaldes interne hvis ikke - så ydersiden. Forstå den relative position af stykkerne kan ikke kun baseres på tegningen, men har oplysninger om summen af deres radier og afstanden mellem deres centre. Hvis disse to værdier er ens, så de kredse røre. Hvis den første mere - skærer og ellers - har ingen fælles punkter.

Så det er med lige linjer. For enhver to cirkler har ingen fælles punkter kan være
bygge fire tangenter. To af dem vil overlappe mellem de tal, de kaldes internt. Et par andre - ekstern.

Hvis vi taler om cirkler, som har ét punkt til fælles, at problemet alvorligt forenklet. Faktum er, at i enhver gensidig arrangement, i dette tilfælde tangenten, de vil kun én har. Og det vil passere gennem skæringspunktet. Så, at bygningen ikke vil skabe problemer.

Hvis tallene er to skæringspunkter, så kan de være bygget linje tangerer cirklen som den ene, og den anden, men kun udenfor. Løsningen på dette problem er magen til det, der diskuteres senere.

Udfordringerne

Både internt og eksternt tangent til de to cirkler i bygningen er ikke så enkel, selv om, og dette problem er løst. Det forhold, at den ekstra mønster anvendes til dette, så var af en sådan fremgangsmåde alene Det er ganske problematisk. Så givet to cirkler med forskellige radier og centre O1 og O2. For dem, at det er nødvendigt at bygge to par tangenter.

Først og fremmest, om midten af den større kreds til at bygge støttende. Samtidig på kompasset skal indstilles forskellen mellem radier af de to oprindelige tal. Fra centrum af den mindre cirkel tangerer den ekstra konstrueret. Efter den af O1 og O2 afholdes perependikulyary disse lige til skæringspunktet med de oprindelige tal. Som det fremgår af de basale egenskaber af tangenten, findes de nødvendige punkter på begge kredse. Problemet er løst, i det mindste i sin første del.

For at opbygge interne tangenter nødt til at løse næsten et lignende problem. Igen, vi har brug for en ekstra figur, men denne gang dens radius er lig med summen af originalen. For hende konstruere tangenten fra centrum af en af disse kredse. Det videre forløb af afgørelsen kan forstås ud fra det foregående eksempel.

Det tangerer cirklen, eller endda to eller flere - er ikke sådan en vanskelig opgave. Selvfølgelig har matematikere længe ophørt med at løse lignende problemer manuelt og stoler beregne særlige programmer. Men tror ikke, at det nu ikke nødvendigvis være i stand til at gøre det selv, fordi for en korrekt formulering af opgaven for at computeren kan gøre meget og forstå. Desværre er der frygt for, at efter den endelige overgang på prøve form af viden kontrol problemer på byggeriet vil forårsage de studerende flere og flere vanskeligheder.

Som for at finde de fælles tangenter til flere kredse, er det ikke altid muligt, selv om de ligger i samme plan. Men i nogle tilfælde er det muligt at finde en sådan linje.

eksempler Life

Den fælles tangent til de to cirkler findes ofte i praksis, selv om det ikke altid er klar. Transportører, modulære systemer, drivremme remskiver, spænding af tråden i en symaskine, men bare en cykel kæde - alle eksempler på livet. Så tror ikke, at geometriske problemer forbliver kun i teorien: i teknik, fysik, byggeri og mange andre områder er i praktisk brug.