Hvad er et decimaltal?

Præsentationen af reelle (eller reelle) tal, hvor de er gemt som en mantisse og eksponent er flydende tal (måske punkt, som det er sædvane i de engelsktalende lande). På trods af dette er antallet forsynet med en fast relativ nøjagtighed og skiftende absolut. Repræsentation som bruges hyppigst, godkendt standard IEEE 754. Matematiske operationer, der bruger flydende tal er implementeret i edb-systemer - både hardware og software.

Punkt eller komma

Den detaljerede liste over Decimal separator identificerer de engelsktalende lande og anglofitsirovannye, hvor registreringer af tal adskilt af en brøkdel af hele pointen, fordi terminologien af disse lande har vedtaget navnet floating point - "floating point". I Den Russiske Føderation, brøkdelen af hele tradition, adskilt af et komma, så det repræsenterer det samme koncept har historisk anerkendte udtrykket "floating point". Men i dag i den tekniske dokumentation og i russisk litteratur er det tilladt begge muligheder.

Udtrykket "floating point" stammer fra det faktum, at en positionel tal repræsentation er et komma (normal decimal eller binær - en computer), der kan passe overalt blandt de linjer numre. Denne funktion er sikker på at fastsætte det separat. Det betyder, at repræsentationen af flydende tal kan betragtes som en computer implementering af eksponentiel notation. Fordelen ved at anvende en sådan repræsentation af en repræsentation format fast punkt og heltal, der spænder over værdier vokser betydeligt, når den relative nøjagtighed forbliver uændret.

eksempel

Hvis kommaet i antallet af faste, derefter brænde det kun ét format. For eksempel givet lidt af en seks i antal og to cifre i brøkdelen. Dette kan kun gøres på denne måde: 123456,78. Formatet for flydende tal fri udfoldelse for ekspression. For eksempel givet de samme otte cifre. Optagelse muligheder kan være en hvilken som helst, hvis programmøren ikke gør et tocifret sjuske pligt ekstra felt, hvor det vil optage eksponenterne, der er typisk 10, og fra 0 til 16, og udledninger, mens det samlede antal vil være ti 8 + 2.

Nogle udformninger af optagelse, som giver dig mulighed for at formatere tal med flydende komma: 12.345.678 bilioner; ,0000012345678; 123,45678; 1.2345678 og så videre. I dette format, er der endda en måleenhed for hastighed! Snarere, udførelsen af et edb-system, der registrerer den hastighed, hvormed computeren udfører operationer, hvor der er repræsentation af flydende tal. Denne præstation er målt i flops (floating-point operationer i sekundet, hvilket svarer til antallet af transaktioner i sekundet med en floating point). Dette er den grundlæggende enhed i målingscomputersystemet hastighed.

struktur

Record nummer i floating point-format er nødvendig som følger, observere sekvensen af de obligatoriske dele, fordi denne post er eksponentiel, som viser de reelle tal som en mantisse og orden. Det er nødvendigt at repræsentere alt for store og alt for små tal, de er meget lettere at læse. Nødvendige dele: det registrerede antal (N), mantissen (M), rækkefølgen af tegnet (p) og ordren (n). De to sidste elementer i skiltet. Derfor N = ^M. n ^s. Så skrevet flydende tal. Eksemplerne vil blive varieret.

1. Det er nødvendigt at registrere antallet af en million, så for ikke at fare vild i nullerne. 1000000 - det er en normal optagelse, aritmetik. En computer er som følger: ^{1,0. 6. oktober.} Det vil sige, ti til den sjette magt - tre tegn, der passer ind i så mange som seks nuller. Således opstår repræsentation af antallet af faste og flydende punkt, hvor det samme kan detektere forskelle i stavning.

2. Og sådan en hård nummer er 1435 millioner (en milliard 435 tusind) også kan skrives blot: ^1435. September ^10, kun. Så det er med et minustegn kan skrive et vilkårligt antal. Det er det, og adskiller sig fra hinanden med antallet af faste og flydende komma.

Men det er mere af, hvordan at være lav? Ja, alt for let.

3. For eksempel, som den en milliontedel mærke? = 0.000001 ^1.0. 10 ^-6. Meget lettere og skrive numre, og læse den.

4. En mere kompliceret? Fem hundrede og Seksogfyrretyvende milliardtedel: 0,000000546 = ^546. 10 ^-9. Her. Rækken af floating point er meget bred.

form

Formnummer kan være normal eller normaliseret. Normal - altid respektere præcisionen af flydende tal. Det skal bemærkes, at mantissen i denne form, uden at tage hensyn til deres fortegn, er halvdelen af intervallet 0 1, derefter 0 ⩽ a <1. Ikke i den normale form af antallet af mister sin nøjagtighed. Ulempen ved den normale form er, at mange tal kan skrives på forskellige måder, der er tvetydig. EKSEMPEL forskellige registreringer med samme nummer: 0 = 0,0001, ^{000001. 10.} februar = ^0,00001. Januar ¹⁰ = ^0,0001. 10 ⁰ = ^0,001. 10 ^-1 = ^0,01. 10 ^-2, og så kan være meget mere. Det er grunden til computeren benytter en anden normaliseret notation, hvor mantissen decimal antager værdien af enhederne (inklusive), og dermed til ti (ikke inkluderet), og på samme måde mantissen binære tal har en værdi mellem én (inklusive) til to (ikke inklusive).

Så 1 ⩽ a <10 Dette -. Binære tal med flydende komma, og denne form for optagelse af et vilkårligt antal (undtagen nul) indfanger en unik måde. Men der er også en ulempe - den manglende evne til at forestille sig denne form for nul. Derfor informatik giver mulighed for anvendelse af særlige numre 0 sign (bit). Heltalsdelen af (MSB) af mantissen i det binære tal undtagen nul på en normaliseret form, er lig med 1 (implicit enhed). Denne record benyttes standard IEEE 754. Positionsjusteringen talsystem, hvor basen er mere end to (ternære, kvaternære og andre systemer), er denne egenskab ikke købt.

reals

Reelle tal med flydende komma og er som regel ligesom det er ikke den eneste, men en meget bekvem måde at repræsentere et reelt tal, som det var, et kompromis mellem forskellige værdier og nøjagtighed. Dette er analogt med eksponentiel notation, kun udføres på computeren. Flydende decimaltal - et sæt individuelle bits er opdelt i et tegn (tegn), ordre (eksponent) og mantisse (mantis). Det mest almindelige format er en IEEE 754 floating-point-tal som et sæt af bits, der koder for en del af sin mantissen, den anden side - graden og den ene bit angiver fortegnet af nummeret: nul - hvis den er positiv, er enheden - hvis tallet er negativt. Hele proceduren registreres af et nummer (code-shift), og mantissen - på en normaliseret form dens brøkdelen - i det binære system.

Hvert tegn - er en enkelt bit, der indikerer tegnet for alle flydende tal. Mantisse og orden - er heltal, de, sammen med tegnet og gøre repræsentationen af flydende tal. Proceduren kan kaldes en eksponentiel eller eksponent. Ikke alle reelle tal kan repræsenteres i en computer i deres nøjagtige betydning, er de andre præsenterede omtrentlige værdier. En meget enklere løsning - at forelægge et reelt tal med et fast punkt, hvor det virkelige og det hele del vil blive holdt adskilt. Mest sandsynligt, således at heltalsdelen altid tildeles X bits, og en fraktioneret - Y bits. Men arkitekturen af processorer er ikke klar over en sådan metode, men fordi der gives fortrinsstilling til antallet af floating point.

Ud

Tilsætning af kommatal er ganske enkel. I forbindelse med IEEE 754 standarden enkelt præcision nummer det har et stort antal bits, så det er bedre at gå videre til eksemplerne med en bedre idé at tage den mindste floating-point nummer. For eksempel de to tal - X og Y.

Trinene er som følger:

a) Tallene skal være repræsenteret i normeret form. Det er helt klart en skjult én. X = ^1.110. 2 ^2, og Y = ^1.000. 2 ^0.

b) Fortsætte med præparatet kan kun udligne udstillerne, men det skal omskrive værdien af Y. Det vil svare til værdien af de normaliserede tal, men i virkeligheden - unnormalizes.

Beregn forskellen mellem de eksponenter for graden 2 - 0 = 2. Flyt nu mantissen for at kompensere for disse ændringer, det vil sige, tilsættes 2 til indekset for den anden periode, og dermed flytter en komma skjulte enheder på to punkter til venstre. 0,0100 ^{opnås. 2} af ^februar. Dette vil være det samme som den tidligere værdi Y, så er der allerede en Y'.

c) Nu skal du tilføje op antallet af mantissen X og Y. justeres

1,110 + 0,01 = 10,0

Udstiller stadig er repræsenteret ved X-parameterværdi, der er lig med 2.

g) Det modtagne beløb i det forrige trin, skiftede normalisering enhed, så er du nødt til at flytte eksponent sum og gentag. 10,0 med to bits til venstre for decimaltegnet, at antallet er nu nødvendigt at normalisere, dvs. flytte kommaet til venstre med et point, og eksponent henholdsvis forøget med 1. Det viser sig ^{1.000. 2} af ^marts.

e) Det er på tide at konvertere et decimaltal i single-byte-system.

konklusion

Som du kan se, tilføje disse tal er ikke alt for hårdt, noget, der flyder komma. Med mindre, selvfølgelig, bortset fra at bringe antallet af lavere eksponent blandt mere (i ovenstående eksempel, var det Y til X), samt genoprettelse af status quo, dvs. spørgsmålet om kompensation - flyt kommaet til venstre for mantissen. Når tilsætningen allerede er blevet anvendt, er det meget muligt, og stadig et problem - perenormirovanie og trunkering bit, hvis deres antal ikke svarer til nummeret for at repræsentere det.

multiplikation

Binary system tilbyder to metoder, som ganger flydende tal. Denne opgave kan udføres ved multiplikation, som begynder med de mindst betydende bits, og som begynder med høj orden bits i multiplikator. Begge tilfælde indeholder en række operationer sekventielt stacking delvis produkt. Disse operationer styres ved tilsætning af multiplikator bits. Så hvis en af de stumper af multiplikatoren er en enhed, summen af partielle produkter af multiplicand vokser med en tilsvarende skift. Hvis et ciffer af multiplikatoren krøb nul, mens multiplicand er ikke tilføjet.

Hvis multiplikation udføres kun to numre, kan produktet af tallene i dens størrelse ikke overstige antallet af cifre, der er indeholdt i de faktorer, mere end to gange, og for et stort antal er det meget, meget. Hvis ganget med nogle tal, risikerer produktet ikke passer til skærmen. Fordi antallet af bit i ethvert digitalt maskine er meget begrænset, og det tvinger at begrænse maksimalt to gange antallet af addere cifre. Og hvis antallet af pladser er begrænset, i produktet vil uundgåeligt introducere fejl. Hvis mængden af beregning er stort, fejlen af overlapning, og som et resultat øger den samlede nøjagtighed. Her er den eneste måde - at runde de multiplikation resultater, så fejlen værker blev skiftevis. Når en multiplikation operation, bliver det muligt at gå ud over gitter af tal, men kun af den yngre, fordi der er en grænse for antallet af der er repræsenteret i form af fast punkt.

nogle forklaringer

Bedre til at starte fra begyndelsen. Den mest almindelige måde at repræsenterer antallet - linjenumre som et heltal, hvor kommaet det antydes i meget ende. Denne streng kan være en hvilken som helst længde, men et komma står i det rigtige sted at sætte det, der adskiller heltal fra fraktioneret del af det. Formatet af præsentationen af den faste punkt systemet nødvendigvis sætter visse betingelser på placeringen af decimaltegnet. Videnskabelig notation bruger en standard normaliseret billede af repræsentation af tal. Det aqn {\ displaystyle aq ^ {n }} aq n. Her en {\ displaystyle ^en} et, og det kaldes mantissen blonder. Bare om det er blevet sagt, at 0 ⩽ a klart: n {/ displaystyle n} n - et helt tal eksponent, og ^q {/ displaystyle q} q - også et helt tal, som er grundlaget for den radix (a brev er ofte 10). Mantisse efterlade et komma efter det første ciffer, der ikke er nul, men yderligere optagelse overføres til oplysninger om den nuværende værdi af nummeret.

Flydende decimaltal skrives meget ligner alle klare standard postnumre, kun eksponenten og mantisse registreres særskilt. Sidste til det samme, og i en normaliseret format - fast punkt, som er dekoreret med den første betydende ciffer. Bare floating point anvendes primært i computeren, det vil sige i den elektroniske repræsentation af, hvor systemet ikke er decimal og binær, hvor selv mantissen Afnormaliser omlejrede punkt - nu er det før det første ciffer, så før, ikke efter det, hvor heltalsdelen i princippet ikke kan være. For eksempel ville vores eget decimal systemet give sit ni binært system til midlertidig brug. Og der vil optage og dens mantisse floating-point på denne måde: +1001000 ... 0, og det og indekset 0 ... 0100. Men decimaltegnet systemet ikke fremstille sådanne komplekse beregninger, som kan være i binær, ved hjælp af den form for floating point.

lang aritmetiske

I elektroniske computere har indbygget softwarepakker, hvor der er afsat til mantissen og eksponent for den mængde hukommelse er angivet software, kun begrænset af hukommelsen størrelse af computeren. Det ligner en lang aritmetik, der er, simple operationer på tal, der udfører computer. Det er alle de samme - subtraktion og addition, division og multiplikation, elementære funktioner og opførelsen af roden. Men antallet af meget forskellige, deres kapacitet er væsentligt større end længden af maskinen ord. Gennemførelsen af disse operationer er ikke ved hardware og software, men det er meget udbredt grundlæggende hardware til at arbejde med meget mindre antal ordrer. Der er mere og regning, hvor numrene længde kun begrænset af hukommelseskapaciteten - arbitrær præcision aritmetik. En lang aritmetik bruges på mange områder.

1. For at kompilere koden (processorer, mikrocontrollere med lav bitdybde - 10-bit registre og otte-bit ordlængde, er det ikke nok til at håndtere informationen fra analog-til-digital (analog-til-digital konverter), og derfor kan ikke undvære en lang aritmetik.

2. Det er også en lang aritmetiske anvendes til kryptering, hvor det er nødvendigt at sikre nøjagtigheden af resultatet af eksponentiering eller formering til ^10,309. Integer aritmetiske bruges modulo m - et stort naturligt tal, og er ikke nødvendigvis nemt.

3. Software til finansfolk og matematikere, også er ikke uden en lang aritmetik, fordi den eneste måde at kontrollere resultaterne af beregningerne på papir - med hjælp af computeren, hvilket sikrer høj nøjagtighed af numrene. Flydende punkt de kan involvere et vilkårligt antal lange udledning. Men de tekniske beregninger og arbejde forskere kræver interventionsprogram beregninger meget ofte, fordi det er meget vanskeligt at gøre input data uden at begå fejl. de er som regel meget mere omfangsrig end afrunding resultater.

Kæmp med fejl

Når en række operationer, hvor floating point, er det meget vanskeligt at vurdere nøjagtigheden af resultaterne. Endnu ikke opfundet opfylder alle de matematiske teori, som ville bidrage til at løse dette problem. Men fejlen heltal evaluere nemt. Muligheden for at komme af unøjagtigheder på overfladen - bare bruge kun antallet af fast punkt. For eksempel, et finansielt program bygger på dette princip. Men der er enklere: det nødvendige antal cifre efter kommaet er kendt på forhånd.

Andre programmer er ikke begrænset til, fordi man ikke kan arbejde med enten meget små eller meget store tal. Så når du arbejder altid tager højde for, at der kan være unøjagtigheder, og fordi udledningen af de resultater, er det nødvendigt at runde. Desuden automatisk afrunding er ofte en mangel på handling, og derfor afrunding er defineret specifikt. Meget farlig i denne henseende, sammenligningen drift. Der er endda vurdere mængden af fremtidige fejl er yderst vanskeligt.