Den ubestemt integral. Beregning af ubestemmelig integraler

En af de grundlæggende dele af matematisk analyse er integralregning. Den dækker et meget bredt felt af objekter, hvor den første - det er den ubestemt integral. Position det står som en nøgle, der er stadig i gymnasiet afslører et stigende antal perspektiver og muligheder, som beskriver højere matematik.

udseende

Ved første øjekast ser det ud helt integreret moderne, aktuel, men i praksis viser det sig, at han kom tilbage i 1800 f.Kr.. Hjem til officielt betragtes Egypten som ikke nåede os tidligere beviser for dens eksistens. Det på grund af manglende information, alt imens placeret blot som et fænomen. Han bekræfter endnu engang niveauet for videnskabelig udvikling af befolkningerne i disse tider. Endelig blev de værker, fundet de gamle græske matematikere, der stammer fra det 4. århundrede f.Kr.. De beskriver den anvendte metode, hvor ubestemt integral, essensen var at finde volumen eller areal af en buet form (tredimensionale og todimensionale plan, henholdsvis). Beregningen er baseret på princippet om opdeling af det oprindelige tal i uendeligt små komponenter, forudsat at den mængde (område) allerede er kendt for dem. Over tid, metoden er vokset, Arkimedes brugte den til at finde arealet af en parabel. Lignende beregninger på samme tid til at gennemføre øvelser i det gamle Kina, hvor de var helt uafhængig af den græske kollega videnskab.

udvikling

Det næste gennembrud i det XI århundrede f.Kr. er blevet arbejdet i den arabiske lærde "vogn" Abu Ali al-Basri, der skubbede grænserne for de allerede kendte, stammede fra den integrerede formel til beregning af summer af de beløb og grader fra det første til det fjerde, at ansøge om dette kendt for os induktion metode.
Minds af i dag er beundret af de gamle egyptere skabte de fantastiske monumenter uden specialværktøj, med undtagelse af den i deres egne hænder, men er er ikke en magt gale videnskabsmænd på den tid ikke mindre et mirakel? Sammenlignet med de nuværende tidspunkter af deres liv synes næsten primitivt, men beslutningen af ubestemmelig integraler udledt overalt og anvendes i praksis til videre udvikling.

Det næste skridt fandt sted i det XVI århundrede, da den italienske matematiker Cavalieri bragte udelelig metode, der samles op Per Ferma. Disse to personlighed lagde grunden til den moderne integralregning, som er kendt i øjeblikket. De bandt begreberne differentiering og integration, som tidligere blev betragtet som selvstændige enheder. I det store og matematikken i denne tid var fragmenterede partikler eksisterer fund af sig selv, med begrænset brug. Måde at forene og finde fælles fodslag var den eneste sande i det øjeblik, takket være ham, den moderne matematiske analyse haft mulighed for at vokse og udvikle sig.

Med tiden ændrer alt og den integrerede symbol så godt. I det store og det blev udpeget forskere, der på sin egen måde, for eksempel, Newton brugte en firkantet ikon, der satte en integrabel funktion, eller blot sat sammen. Denne forskel varede indtil det XVII århundrede, da en milepæl for hele teorien om matematisk analyse videnskabsmand Gotfrid Leybnits indført en sådan karakter velkendt for os. Aflange "S" er faktisk baseret på dette brev af det latinske alfabet, da betegner summen af primitiver. Navnet på den integrerede opnåede takket være Jakob Bernoulli, efter 15 år.

Den formelle definition

Den ubestemte integral afhænger af definitionen af det primitive, så vi mener, at det i første omgang.

Stamfunktion - er den inverse funktion af derivat, i praksis det kaldes primitiv. Ellers: primitiv funktion af d - er en funktion D, som er differentialkvotienten v <=> V '= v. Søg primitiv er at beregne den ubestemte integral, og selve processen kaldes integration.

eksempel:

Funktionen s (y) = y ^3, og dens primitive S (y) = (y ^4/4).

Mængden af alle primitiver af funktionen - dette er ubestemt integral, betegnet det som følger: ∫v (x) dx.

I kraft af det faktum, at V (x) - er kun nogle primitive oprindelige funktion, ekspression besidder: ∫v (x) dx = V (x) + C, hvor C - konstant. Under arbitrær konstant refererer til enhver konstant, da dens afledte er nul.

egenskaber

De egenskaber, som den ubestemte integral, i det væsentlige baseret på definitionen og egenskaber af derivater.
Overvej de vigtigste punkter:

• integrerende derivat med primitive er primitive selv plus en arbitrær konstant C <=> ∫V '(x) dx = V (x) + C;
• derivat af integralet af en funktion er den oprindelige funktion <=> (∫v (x) dx) '= v (x);
• konstant tages ud under integraltegnet <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, hvor k - er vilkårlig;
• integral, som er taget fra summen af den identisk lig med summen af integraler <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

De sidste to ejendomme kan konkluderes, at den ubestemte integral er lineær. På grund af dette, har vi: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

At se eksempler på fastsættelse opløsninger ubestemmelig integraler.

Du skal finde integralet ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-COSX) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Fra eksempel kan vi konkludere, at du ikke ved, hvordan man kan løse udefinerbar integraler? Bare finde alle de primitive! Men jagten på de principper diskuteret nedenfor.

Metoder og eksempler

For at løse den integrerede, kan du ty til følgende metoder:

• klar til at drage fordel af bordet;
• delvis integration;
• integreret ved at erstatte den variable;
• opsummering under tegnet af differentialet.

tabeller

Den mest enkle og underholdende måde. I øjeblikket kan matematisk analyse prale ganske omfattende tabeller, som beskrev den grundlæggende formel af ubestemmelig integraler. Med andre ord er der skabeloner afledt op til dig, og du kan kun drage fordel af dem. Her er en liste over de vigtigste bord holdninger, som kan vises næsten alle tilfælde har en løsning:

• ∫0dy = C, hvor C - konstant;
• ∫dy = y + C, hvor C - konstant;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, hvor C - en konstant, og n - antal forskelligt fra enhed;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, hvor C - konstant;
• ^{∫e y dy = e y + C} , hvor C - konstant;
• ^{∫k y dy = (k y /} ln k) + C, hvor C - konstant;
• ∫cosydy = siny + C, hvor C - konstant;
• ∫sinydy = -cosy + C, hvor C - konstant;
• ∫dy / cos ² y = TGY + C, hvor C - konstant;
• ∫dy / sin ² y = -ctgy + C, hvor C - konstant;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, hvor C - konstant;
• ∫chydy = genert + C, hvor C - konstant;
• ∫shydy = Chy + C, hvor C - konstant.

Hvis det er nødvendigt, gøre et par trin fører integranden til en tabelform visning og nyde sejren. EKSEMPEL: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.

Ifølge beslutningen er det klart, at for eksempel en tabel integranden mangler multiplikator 5. Vi tilføjer det sideløbende med denne multiplicere med 1/5 til almen udtryk ændrede sig ikke.

Delvis integration

Overveje to funktioner - z (y) og x (y). De skal være konstant differentiabel på sit domæne. I en differentierings egenskaber har vi: d (xz) = XDZ + ZDx. Integration begge sider, får vi: ∫d (xz) = ∫ (XDZ + ZDx) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

Omskrive resulterende ligning, får vi formlen, som beskriver fremgangsmåden til delvis integration: ∫zdx = zx - ∫xdz.

Hvorfor er det nødvendigt? Det faktum, at nogle af de eksempler, er det muligt at forenkle, lad os sige, at reducere ∫zdx ∫xdz, hvis sidstnævnte er tæt på tabelform. Desuden kan denne formel bruges mere end en gang, for optimale resultater.

Hvordan man løser udefinerbar integraler denne måde:

• nødvendigt at beregne ∫ (r + 1) e ^2s ds

∫ (x + ^{1) e 2s ds = {z =} s + 1, dz = ds, y = 1 ^{/ 2e 2s, dy = e 2x} ds} = ((s + 1) e ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) e ^2s) / 2-e ^2s / 4 + C;

• skal beregne ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - ∫ S x ds / s = slns - ∫ds = slns -s + C = S (LMS-1) + C.

Udskiftning af variable

Dette princip om at løse udefinerbar integraler ikke er mindre efterspurgte end de to foregående, men kompliceret. Fremgangsmåden er som følger: Lad V (x) - integralet af en funktion v (x). I tilfælde af, at i sig selv integreret i eksempel slozhnosochinenny kommer, vil sandsynligvis blive forvirret og gå ned den forkerte vej løsninger. For at undgå denne praksis ændring fra variablen x til z, hvor den generelle udtryk visuelt forenkles, uden at z afhængigt x.

Matematisk, dette er som følger: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), hvor x = y ( z) - substitution. Og, selvfølgelig, den inverse funktion z = y ^-1 (x) beskriver fuldt forholdet og forholdet mellem variablerne. Vigtig bemærkning - forskellen dx nødvendigvis udskiftes med en ny differentieret dz, siden ændringen af variabel i den ubestemte integral involverer erstatte den overalt, ikke kun i integranden.

eksempel:

• skal finde ∫ (r + 1) / (r ² + 2s - 5) ds

Anvende substitutionen z = (r + 1) / (s ² + 2s-5). Derefter dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. Som et resultat, at følgende udtryk, som er meget let at beregne:

∫ (s + 1) / (r ² + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2LN | s ² + 2s-5 | + C;

• du skal finde integralet ∫2 ^s e ^s dx

For at løse omskrivning i følgende form:

^{∫2 s e s ds = ∫ (} 2e) s ds.

Vi betegne som en = 2e (udskiftning af argumentet dette trin ikke, er det stadig s), giver vi vores tilsyneladende kompliceret integreret grundlæggende tabelform:

^{∫ (2e) s ds = ∫a} s ds = en s / lna + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^s e ^s / ln (2 + LNE) + C = 2 ^s e ^s / (ln2 + 1) + C.

Opsummering en differentieret tegn

I det store og denne metode til udefinerbar integraler - den tvillingebror af princippet om ændringen af variabel, men der er forskelle i færd med registreringen. Lad os betragte nærmere.

Hvis ∫v (x) dx = V (x) + C og y = z (x), derefter ∫v (y) dy = V (y) + C.

Samtidig må vi ikke glemme de trivielle integrerede transformationer, blandt hvilke:

• dx = d (x + a), og hvor - hver konstant;
• dx = (1 / a) d (ax + b), hvor en - konstant igen, men ikke nul;
• XdX = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Hvis vi betragter det generelle tilfælde, hvor vi beregne den ubestemte integral, kan eksemplerne skal indordnes under den almene formel w '(x) dx = dw (x).

eksempler:

• skal finde ∫ (2s + 3) ² ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ^2d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + ^{3) 2)} / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (USS) / USS = -ln | USS | + C.

Online hjælp

I nogle tilfælde kan skyld som bliver eller dovenskab, eller et presserende behov, kan du bruge online-prompter, eller rettere, for at bruge en lommeregner udefinerbar integraler. På trods af den tilsyneladende kompleksitet og kontroversielle karakter af integralerne, beslutningen er underlagt deres specifikke algoritme, som er baseret på princippet om "hvis du ikke ... så ...".

Selvfølgelig vil et særligt indviklede eksempler på en sådan regnemaskine ikke mestre, da der er tilfælde, hvor en beslutning har at finde en kunstigt "tvinges" ved at indføre visse elementer i processen, fordi resultaterne er oplagte måder at nå. På trods af den kontroversielle karakter af denne erklæring, det er sandt, som matematikken i princippet en abstrakt videnskab, og det primære mål anser behovet for at styrke grænserne. Faktisk for en smidig run-in teorierne er meget vanskeligt at bevæge sig op og udvikle sig, så ikke antage, at de eksempler på at løse udefinerbar integraler, som gav os - det er højden af muligheder. Men tilbage til den tekniske side af tingene. Mindst at kontrollere beregningerne, kan du bruge tjenesten, hvor den blev skrevet til os. Hvis der er behov for automatisk beregning af komplekse udtryk, så behøver de ikke at ty til en mere alvorlig software. Bør være opmærksomme primært på miljøet MatLab.

ansøgning

Beslutningen af ubestemmelig integraler ved første øjekast synes helt løsrevet fra virkeligheden, fordi det er svært at se den indlysende brug af flyet. Faktisk direkte bruge dem hvor som helst du ikke kan, men de er et nødvendigt mellemliggende element i processen med tilbagetrækning af løsninger, der anvendes i praksis. Således, integration af back differentiering, således aktivt i processen med at løse ligninger.
Til gengæld disse ligninger har en direkte indvirkning på afgørelsen af mekaniske problemer, bane beregning og varmeledningsevne - kort sagt alt, hvad der udgør den nuværende og forme fremtiden. Ubestemt integral, hvoraf eksempler vi har overvejet ovenstående, kun trivielle ved første øjekast, som en base for at udføre flere og flere nye opdagelser.