FormationUngdomsuddannelse og skoler

Diagonal ligesidet trapez. Hvad er den midterste linje i trapez. Typer af trapezformede. Trapeze - det ..

Trapez - et særligt tilfælde af en firkant, i hvilken et par sider i er parallel. Udtrykket "trapez" er afledt af det græske ord τράπεζα, som betyder "bord", "bord". I denne artikel vil vi se på typer af trapez og dens egenskaber. Også, vi ser på, hvordan man beregner de enkelte elementer i den geometriske figur. F.eks diagonalen i en ligesidet trapez, den midterste linie, areal og andre. Materialet indeholdt i den elementære geometri populære stil, t. E. I en let tilgængelig måde.

oversigt

Først, lad os forstå, hvad en firkant. Dette tal er et særligt tilfælde af en polygon med fire sider og fire hjørner. To knudepunkter af en firkant, der ikke er tilgrænsende, kaldet modsat. Det samme kan siges om de to ikke-tilstødende sider. De vigtigste typer af firkanter - et parallelogram, rektangel, rombe, firkantet, trapez og deltoid.

Så tilbage til trapez. Som vi har sagt, er dette tal de to sider er parallelle. De kaldes baser. De to andre (ikke-parallelle) - siderne. Materialerne i de forskellige undersøgelser og undersøgelser meget ofte du kan møde udfordringer forbundet med trapezer, hvis løsning kræver ofte den studerendes viden ikke omfattet af programmet. Skole Uddannelse geometri introducerer elever med vinkler egenskaber og diagonaler samt medianen linje som et ligebenet trapez. Men bortset fra, henvist til en geometrisk form har andre funktioner. Men om dem senere ...

typer trapez

Der er mange typer af denne figur. Men oftest almindeligt at overveje to af dem - ligebenet og rektangulære.

1. Rektangulært trapez - et tal, hvori en af siderne vinkelrette på basen. Hun har to vinkler er altid lig med halvfems grader.

2. ligebenede trapez - en geometrisk figur, hvis sider er lige. Så og vinklerne på basen også er lige.

Hovedprincipperne i metoder til at studere egenskaberne af trapez

De grundlæggende principper omfatter anvendelse af såkaldte opgave tilgang. I virkeligheden er der ingen grund til at gå ind i en teoretisk kursus Geometry af nye egenskaber af dette tal. De kan være åben eller i færd med at formulere de forskellige opgaver (bedre system). Det er meget vigtigt, at læreren ved, hvilke opgaver du skal lægge foran studerende på ethvert givet tidspunkt af læringsprocessen. Desuden kan hver trapez ejendom være repræsenteret som en central opgave i opgaven systemet.

Det andet princip er den såkaldte spiral organisering af undersøgelsen "bemærkelsesværdige" trapez egenskaber. Dette indebærer en tilbagevenden til processen med at lære de enkelte funktioner i geometrisk figur. Således at de studerende lettere kan huske dem. For eksempel tilhører de fire punkter. Det kan bevises som i undersøgelsen af lighed og efterfølgende anvendelse af vektorer. En Lige trekanter støder op til siderne af figuren, er det muligt at bevise ved hjælp ikke kun egenskaberne af trekanter med samme højde, der foretages til siderne af, der ligger på en ret linie, men også ved hjælp af formlen S = 1/2 (ab * sinα). Desuden er det muligt at arbejde ud af sinusrelation til den indskrevne trapez eller retvinklet trekant og trapez beskrevet i t. D.

Brugen af "somme" er udstyret med en geometrisk figur i indholdet af skolens kursus - en tasking deres teknologi undervisning. Konstant henvisning til at studere egenskaberne for passage af den anden giver eleverne mulighed for at lære trapez dybere og sikrer succes for opgaven. Så går vi videre til studiet af denne bemærkelsesværdige tal.

Elementer og egenskaber af et ligebenet trapez

Som vi har bemærket, i denne geometrisk figur sider er lige. Men det er kendt som en ret trapez. Og hvad er det så bemærkelsesværdigt og hvorfor fik sit navn? De særlige træk ved dette tal fortæller, at hun har ikke kun lige store sider og vinkler i bunden, men også diagonalt. Hertil kommer, at summen af vinklerne i en ligebenet trapez er lig med 360 grader. Men det er ikke alt! Kun omkring ligebenet kan beskrives ved en kreds af alle kendte trapezer. Dette skyldes det faktum, at summen af modstående vinkler i denne figur er 180 grader, og kun under denne betingelse kan beskrives som en cirkel rundt om firkanten. Følgende egenskaber af geometrisk figur er, at afstanden fra toppen af basen til projektionen af de modstående toppe på den linje, der indeholder denne base vil være lig med midterlinjen.

Lad os nu se på, hvordan man kan finde hjørnerne af en ligebenet trapez. Overvej en løsning på dette problem, forudsat at størrelsen af parterne kendte figur.

beslutning

Det er sædvanligt at betegne Quadrangle bogstaverne A, B, C, D, hvor BS og BP - et fundament. I en ligebenet trapez sider er lige. Vi antager, at deres størrelse er lig med X og Y-dimensionerne er baser og Z (mindre og større, henholdsvis). Ved beregning af vinklen af behovet for at tilbringe i højden H. Resultatet er en retvinklet trekant ABN hvor AB - hypotenusen, og BN og AN - benene. Beregne størrelsen af benet AN: trække fra største basis minimal, og resultatet divideres med 2. skrive en formel: (ZY) / 2 = F. Nu, for at beregne den spidse vinkel af trekanten brug funktionen cos. Vi får følgende angivelse: cos (β) = X / F. Nu beregne vinklen: β = arcos (X / F). Yderligere, vel vidende det ene hjørne, kan vi bestemme og for det andet at gøre denne elementære aritmetiske operation: 180 - β. Alle vinkler er defineret.

Der er også en anden løsning på dette problem. I begyndelsen er udeladt fra hjørnet i højden af benet N. beregner værdien af BN. Vi ved, at kvadratet på hypotenusen i en retvinklet trekant er lig med summen af kvadraterne af de to andre sider. Vi får: BN = √ (X2 F2). Dernæst bruger vi den trigonometriske funktion tg. Resultatet er: β = arctg (BN / F). Den spidse vinkel er fundet. Dernæst definerer vi en stump vinkel som i den første metode.

Ejendommen af diagonaler en ligebenet trapez

Først, vi skriver de fire regler. Hvis diagonalen i en ligebenet trapez er vinkelrette, så:

- højden af figuren er lig med summen af baser, divideret med to;

- sin højde og den midterste linje er ens;

- område af trapez er lig med kvadratet på højden (midterlinien til halv baser);

- kvadratet på diagonalen i et kvadrat er lig med halvdelen af summen af det dobbelte af den firkantede baser eller midterlinje (højde).

Nu ser på formel, der definerer den diagonale en ligesidet trapez. Denne oplysning kan opdeles i fire dele:

1. Formel diagonal længde gennem sin side.

Vi antager, at A er - en nedre bund, B - Top, C - lige sider, D - diagonal. I dette tilfælde kan længden bestemmes som følger:

D = √ (C2 + A * B).

2. Formel til diagonal længde cosinus.

Vi antager, at A er - en nedre bund, B - Top, C - lige sider, D - diagonal, α (ved den nedre base) og β (den øvre basis) - trapezformede hjørner. Vi opnå den følgende formel, ved hvilken man kan beregne længden af diagonalen:

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosa);

- D = √ (A2 + S2-2A * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosβ);

- D = √ (B2 + S2-2V * C * cosa).

3. Formel diagonal længde som et ligebenet trapez.

Vi antager, at A er - en nedre bund, B - øvre, D - diagonal, M - midterste linje H - højde, P - område af trapez, α og β - vinklen mellem diagonaler. Bestem længden af følgende formler:

- D = √ (M2 + N2);

- D = √ (H2 + (A + B) 2/4);

- D = √ (N (A + B) / sinα) = √ (2n / sinα) = √ (2 M * N / sinα).

Til dette tilfælde lighed: sinα = sinβ.

4. Formel diagonal længde gennem siderne og højde.

Vi antager, at A er - en nedre bund, B - Top, C - sider, D - diagonal, H - højde, α - vinkel med den nedre base.

Bestem længden af følgende formler:

- D = √ (H2 + (A-P * ctgα) 2);

- D = √ (H2 + (B + F * ctgα) 2);

- D = √ (A2 + S2-2A * √ (C2-H2)).

Elementer og egenskaber af et rektangulært trapez

Lad os se på, hvad der er interesseret i denne geometrisk figur. Som vi har sagt, har vi et rektangulært trapez to rette vinkler.

Udover den klassiske definition, der er andre. For eksempel en rektangulær trapez - en trapez, hvor den ene side er vinkelrette på basen. Eller form der på bivirkninger vinkler. I denne type trapezoider højde er den side, der er vinkelret på baserne. Den midterste linje - et segment, der forbinder midtpunkterne af de to sider. Ejendommen af nævnte element er, at den er parallel med baserne og lig med halvdelen af deres sum.

Lad os nu betragte de grundlæggende formler, der definerer de geometriske former. For at gøre dette, antager vi, at A og B - base; C (vinkelrette på basen) og D - sider af den rektangulære trapez, M - midterste linje, α - spids vinkel, P - område.

1. Den side vinkelret på baser, et tal lig med højden (C = N), og er lig med længden af den anden side A og sinus af vinklen α ved en større basis (C = A * sinα). Desuden er det lig med produktet af tangens af den spidse vinkel α og forskellen i baser: C = (A-B) * tgα.

2. Den side D (ikke vinkelrette på basen) lig med kvotienten af forskellen mellem A og B og cosinus (α) eller en spids vinkel til den private højde tal H og sinus spids vinkel: A = (A-B) / cos α = C / sinα.

3. Den side der er vinkelret på baserne, er lig med kvadratroden af kvadratet af forskellen D - den anden side - og et kvadrat baseforskelle:

C = √ (q2 (A-B) 2).

4. Side Et rektangulært trapez er lig med kvadratroden af en kvadratisk sum af en kvadratisk side og C-baser geometriske form forskel: D = √ (C2 + (A-B) 2).

5. Den side C er lig med kvotienten af firkantede dobbelt summen af dets baser: C = P / M = 2P / (A + B).

6. Området afgrænset af produktet M (midterlinien af den rektangulære trapez) i højden eller lateral retning vinkelret på baserne: P = M * N = M * C.

7. Position C er kvotienten af den dobbelte kvadratisk form af produktet sinus spids vinkel og summen af dets baser: C = P / M * sinα = 2P / ((A + B) * sinα).

8. Formel side af en rektangulær trapez gennem sin diagonal, og vinklen mellem dem:

- sinα = sinβ;

- C = (D1 * D2 / (A + B)) * sinα = (D1 * D2 / (A + B)) * sinβ,

hvor D1 og D2 - diagonal af trapez; α og β - vinklen mellem dem.

9. Formel side gennem en vinkel ved den nedre basis og andre: A = (A-B) / cosa = C / sinα = H / sinα.

Siden trapez med rette vinkler er et særligt tilfælde af trapez, de andre formler, der bestemmer disse tal, vil mødes og rektangulære.

Egenskaber incircle

Hvis betingelsen siges, at i en rektangulær trapez indskrevne cirkel, så kan du bruge de følgende egenskaber:

- mængden af basen er summen af siderne;

- afstand fra toppen af den rektangulære form til tangent- af den indskrevne cirkel er altid lig;

- højden af trapez er lig med den side, vinkelret på baserne, og er lig med diameteren af cirklen ;

- cirklen center er det punkt, hvor skærer bisectors af vinkler ;

- hvis den laterale side af kontaktpunktet er opdelt i længder N og M, så radius af cirklen er lig med kvadratroden af produktet af disse segmenter;

- firkant dannet af kontaktpunkter, i toppen af trapezen og centrum af den indskrevne cirkel - det er et kvadrat, hvis side er lig med radius;

- område af figuren er produktet af grunden, og produktet af den halve sum af baser på sit højeste.

lignende trapez

Dette emne er meget nyttigt for at studere egenskaberne af geometriske figurer. For eksempel den diagonale opdelt i fire trekanter trapezformet, og støder op til basis af lignende og til siderne - af samme. Dette udsagn kan kaldes en egenskab af trekanter, som er brudt trapez dens diagonaler. Den første del af dette udsagn er bevist gennem tegnet af ligheden mellem de to hjørner. For at bevise den anden del er bedre at bruge metoden skitseret nedenfor.

beviset

Accepter, at tallet ABSD (AD og BC - grundlag af trapez) er brudt diagonaler HP og AC. Skæringspunktet - O. Vi får fire trekanter: AOC - på lavere udgangspunkt, BOS - den øverste basen, ABO og SOD i siderne. Trekanter SOD og biofeedback har en fælles højde i dette tilfælde, hvis segmenterne af BO og OD er deres baser. Vi finder, at forskellen på deres områder (P) svarende til forskellen på disse segmenter: PBOS / PSOD = BO / ML = K. Derfor PSOD = PBOS / K. Tilsvarende trekanter AOB og biofeedback har en fælles højde. Accepteret til deres bundsegmenter SB og OA. Vi får PBOS / PAOB = CO / OA = K og PAOB = PBOS / K. Heraf følger, at PSOD = PAOB.

For at konsolidere de materielle studerende opfordres til at finde en forbindelse mellem områderne trekanter opnåede, som er brudt trapez dens diagonaler, beslutter den næste opgave. Det er kendt, at trekanter BOS og ADP områder er ens, er det nødvendigt at finde arealet af en trapez. Da PSOD = PAOB, så PABSD PBOS + = PAOD + 2 * PSOD. Fra ligheden af trekanter BIM og ANM følger, at BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Følgelig PBOS / PSOD = BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Få PSOD = √ (* PBOS PAOD). Så PABSD PBOS + = PAOD + 2 * √ (PAOD PBOS *) = (+ √PBOS √PAOD) 2.

egenskaber lighed

Fortsat at udvikle dette tema, er det muligt at bevise, og andre interessante funktioner i trapezformede. Så ved hjælp af ligheden kan bevise ejendommen segmentet, som går gennem punktet dannet af skæringen mellem diagonaler geometrisk figur, parallelt med jorden. Til dette har vi løser følgende problem: det er nødvendigt at finde længden RK segment, der passerer gennem punktet O. Fra ligheden af trekanter ADP og SPU følger, at AO / OS = AD / BS. Fra ligheden af trekanter ADP og ASB følger, at AB / AC = PO / AD = BS / (BP + BS). Dette indebærer, at BS * PO = AD / (AD + BC). Ligeledes fra ligheden af trekanter MLC og ABR følger, at OK * BP = BS / (BP + BS). Dette indebærer, at OC og RC = RC = 2 * BS * AD / (AD + BC). Segment passerer gennem skæringspunktet mellem diagonalerne parallelt med bunden og forbinder de to sider, er skæringspunktet delt i halve. Dens længde - er det harmoniske gennemsnit af grunden tal.

Overvej følgende karakteristika for en trapez, som kaldes den egenskab fire punkter. skæringspunktet af diagonalerne (D), skæringspunktet af fortsættelsen af siderne (E) samt midten baser (T og G) altid ligger på samme linie. Det er let at bevise ligheden metode. De resulterende trekanter er lignende BES og AED, og hver indbefatter en median ET og DLY opdele topvinklen E i lige dele. Derfor punkt E, T og F er collinear. Ligeledes på samme linje er anbragt i form af T, O og G. Dette følger af ligheden af trekanter BIM og ANM. Derfor konkluderer vi, at alle fire betingelser - E, T, O og F - vil ligge på en ret linje.

Ved hjælp af lignende trapezer, kan tilbydes til de studerende til at finde længden af segmentet (LF), som deler figuren i to lignende. Denne nedskæring skal være parallel med baserne. Da den modtagne trapez ALFD LBSF og lignende, BS / LF = LF / AD. Dette indebærer, at LF = √ (BS * BP). Vi konkluderer, at det segment, der deler sig i to trapez lignende, har en længde svarende til det geometriske gennemsnit af længderne af baserne regne.

Overvej følgende ligheden ejendom. Den er baseret på det segment, der deler trapez i to lige store stykker. Accepter, at trapez ABSD segment er opdelt i to ens EH. Fra toppen af B sænkede højde med denne segment er opdelt i to dele DA - B1 og B2. Opnå PABSD / 2 = (BS + EH) * V1 / 2 = (AP + EH) * B2 / 2 = PABSD (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Yderligere komponere systemet, hvor den første ligning (BS + EH) * B1 = (BP + EH) * B2 og anden (BS + EH) * B1 = (BP + BS) * (B1 + B2) / 2. Heraf følger, at B2 / B1 = (BS + EH) / (BP + EH) og BS + EH = ((BS + BP) / 2) * (1 + B2 / B1). Vi finder, at længden af dividere trapez den to lige, svarende til de gennemsnitlige længder af den kvadratiske baser: √ ((CN2 + aq2) / 2).

lighed konklusioner

Vi har således vist, at:

1. segment, som forbinder midten af trapez på de laterale sider, parallelt med BP og BS og BS er det aritmetiske gennemsnit og BP (base længden af en trapez).

2. Baren passerer gennem punktet O i skæringspunktet mellem diagonaler parallelle AD og BC vil være lig med det harmoniske gennemsnit numre BP og BS (2 * BS * AD / (AD + BC)).

3. Segmentet bryde i lignende trapez har en længde geometrisk gennemsnit baser BS og BP.

4. Elementet, der opdeler formen i to lige store, en længde betyde kvadrattal BP og BS.

For at konsolidere materialet og bevidsthed om forbindelserne mellem de segmenter af studerende er nødvendig for at bygge dem for det specifikke trapez. Han kan nemt vise det gennemsnitlige linje og det segment, som passerer gennem punktet - skæringspunktet mellem diagonaler tallene - parallelt med jorden. Men hvor bliver det tredje og fjerde? Denne reaktion vil føre eleven til opdagelsen af den ukendte forhold mellem de gennemsnitlige værdier.

Segment forbinder midtpunkterne af diagonaler trapez

Overvej følgende egenskab af figuren. Vi accepterer, at segmentet MN er parallel til baserne og deler i halve diagonalt. skæringspunktet kaldes W og S. Dette segment vil være lig med halvdelen af forskellen grund. Lad os undersøge dette nærmere. MSH - den gennemsnitlige linje af trekanten ABS, det er lig med BS / 2. Minigab - den midterste linje af trekanten DBA, er det lig med AD / 2. Så finder vi, at SHSCH = minigab-MSH derfor SHSCH = AD / 2-BS / 2 = (AD + BC) / 2.

tyngdepunkt

Lad os se på, hvordan man definerer elementet for en given geometrisk figur. For at gøre dette, skal du udvide basen i modsatte retninger. Hvad betyder det? Det er nødvendigt at tilføje basen til den øverste bund - til nogen af parterne, for eksempel til højre. En nedre forlænge længden af den øverste venstre. Dernæst forbinde deres diagonal. Skæringspunktet af dette segment med midterlinien af figuren er tyngdepunktet af trapez.

Betegnet og beskrevet trapez

Lad os listen funktioner disse tal:

1. Linie kan indskrives i en cirkel, hvis det er ligebenet.

2. Omkring cirklen kan beskrives som en trapez, forudsat at summen af længderne af deres baser er summen af længderne af siderne.

Konsekvenser af den indskrevne cirkel:

1. Højden af trapezen beskrevet altid lig med to gange radius.

2. Den side af trapez beskrevne ses fra midten af cirklen i rette vinkler.

Den første konsekvens er indlysende, og for at bevise det andet er forpligtet til at fastslå, at vinklen på SOD er direkte, det vil sige, i virkeligheden, heller ikke være nemt. Men kendskabet til denne egenskab gør det muligt at bruge en retvinklet trekant til at løse problemer.

Nu skal vi præcisere konsekvenserne for den ligebenede trapez, der er indskrevet i en cirkel. Vi får at højden er de geometriske middelværdier figur baser: H = 2R = √ (BS * BP). Opfyldelse af grundlæggende metode til at løse problemer for trapezer (princippet om to højder), skal den studerende løse følgende opgave. Accepter, at BT - højden af ligebenet tal ABSD. Du skal finde strækninger af AT og AP. Anvendelse af ovenstående, vil det gøre beskrevet formel er ikke svært.

Lad os nu forklare, hvordan at bestemme cirklens radius fra området beskrevet trapez. Udeladt oppefra B højde på basen BP. Da cirkel indskrevet i trapez, BS + 2AB = BP eller AB = (BS + BP) / 2. Fra trekanten ABN fund sinα = BN / 2 * AB = BN / (AD + BC). PABSD = (BS + BP) BN * / 2, BN = 2R. Opnå PABSD = (BP + BS) * R, følger det, at R = PABSD / (AD + BC).

.

Alle formler midterlinjen trapez

Nu er det tid til at gå til det sidste element af denne geometrisk figur. Vi vil forstå, hvad der er den midterste linje i trapez (M):

1. Gennem baser: M = (A + B) / 2.

2. Efter højden, basen og hjørnerne:

• M-H = A * (ctgα + ctgβ) / 2;

• M + H = D * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Gennem en højde og diagonal vinkel derimellem. F.eks D1 og D2 - diagonal i trapez; α, β - vinklen mellem dem:

M = D1 * D2 * sinα / 2 H = D1 * D2 * sinβ / 2H.

4. Inden for området og højde: M = R / N.

Similar articles

 

 

 

 

Trending Now

 

 

 

 

Newest

Copyright © 2018 da.delachieve.com. Theme powered by WordPress.