Fourierrækker: historie og indflydelse af den matematiske mekanisme for udviklingen af videnskab

Fourierrækker - dette synspunkt vilkårligt valgt funktioner til perioden i træk. Generelt er denne løsning kaldet ekspansion element på en ortogonal basis. Udvidelsen af funktioner i Fourierrækker er ganske kraftfuldt værktøj til løsning af forskellige problemer på grund af egenskaberne af transformation i integration, differentiering, samt et skift i argumentet ekspression og foldning.

En person, der ikke er bekendt med højere matematik, samt med værker af den franske videnskabsmand Fourier, højst sandsynligt ikke vil forstå, hvad "rækker", og hvad de gør. Alligevel denne transformation er ganske fast indtastet vores liv. Det bruges ikke kun matematik, men også fysikere, kemikere, læger, astronomer, seismologer, havforskere og andre. Lad os også tage et nærmere kig med værker af den store franske videnskabsmand, der gjorde opdagelsen, forud for sin tid.

Manden og Fouriertransformation

Fourierrækker er en af metoderne (sammen med analyse og andre) af Fourier-transformationen. Denne proces finder sted, hver gang en person hører nogen lyd. Vores øre konverterer automatisk lydbølgen. Oscillationsbevægelse af elementarpartikler i et elastisk medium ekspanderes i serien (spektret) successive volumen henblik toner af forskellig højde. Dernæst hjernen konverterer disse data ind i velkendte lyde for os. Alt dette er i tillæg til vores ønske eller bevidsthed selv, men for at forstå de processer, der finder flere år for at studere højere matematik.

Læs mere om Fouriertransformation

Fouriertransformation kan udføres analytiske, tal og andre metoder. Fourier serier er tallet fremgangsmåde til dekomponering eventuelle oscillerende processer - fra havets tidevand og bølger af lys til sol cykler (og andre astronomiske objekter) aktivitet. Ved anvendelse af disse matematiske teknikker er det muligt at adskille funktionen, som repræsenterer eventuelle oscillerende processer i en række sinusformede komponenter, der går fra minimum til maksimum og omvendt. Fouriertransformation er en funktion, der beskriver fasen og amplituden af sinusoider svarende til en bestemt frekvens. Denne fremgangsmåde kan anvendes til at løse en meget kompleks ligninger, som beskriver de dynamiske processer, der forekommer under virkningen af varme, lys eller elektrisk energi. , Fourier-serien bruges også til at skelne DC-komponenter i komplekse kurver, hvilket gør det muligt at fortolke de eksperimentelle observationer i medicin, kemi og astronomi korrekt.

historiske oplysninger

Grundlæggeren af denne teori er den franske matematiker Zhan Batist Zhozef Fure. Hans navn senere og denne transformation er blevet kaldt. Indledningsvis forskerne anvendt en teknik til at undersøge og forklare mekanismerne i varmeledningsevne - varme opformering i faste stoffer. Fourier foreslog, at den initiale uregelmæssig fordeling af den termiske bølge kan opdeles i simple sinusoid, som hver vil have sin temperatur minimum og maksimum, samt dens fase. Således hver sådan komponent, der skal måles fra minimum til maksimum og omvendt. Den matematiske funktion, der beskriver den øvre og nedre spidser af kurven, samt fasen af hver harmonisk, kaldet Fouriertransformation af temperaturfordelingen af ekspression. Forfatteren af teorien om reducerede overordnede fordeling funktion, der er vanskelig at matematisk beskrivelse, i en meget let at håndtere en række af periodiske funktioner sinus og cosinus, i mængden af at give den oprindelige fordeling.

Princippet om konvertering og synspunkter samtidige

Samtidige af videnskabsmand - de førende matematikere i begyndelsen af det nittende århundrede - accepterede ikke denne teori. Den vigtigste indvending var godkendelsen af Fourier at den diskontinuerlige der beskriver en ret linie eller kurve er revet, det kan repræsenteres som en sum af sinusformede udtryk, som er kontinuerlig. Som et eksempel, overveje en "skridt" Heaviside: dens værdi er nul til venstre for hullet og en til højre. Denne funktion beskriver afhængigheden af elektrisk strøm på tidspunktet variabel for lukningen kæden. Moderne teori på det tidspunkt, aldrig havde mødt en sådan situation, hvor en diskontinuerlig udtryk ville beskrives ved en kombination af kontinuerlige, fælles funktioner, såsom eksponentiel, sinus, lineær eller kvadratisk.

Hvad generet de franske matematikere i teorien om Fourier?

Efter alt, hvis en matematiker med rette argumentere, så summen en uendelig trigonometriske Fourier serier, er det muligt at opnå en nøjagtig repræsentation af trinnet til ekspression, selv om den har et sæt af lignende trin. I begyndelsen af det nittende århundrede, dette udsagn virkede absurd. Men på trods af alle de tvivl, har mange matematikere udvidet omfanget af undersøgelsen af dette fænomen, at flytte den ud over de varmeledning undersøgelser. Fortsatte imidlertid de fleste forskere til at lide af spørgsmålet: "Kan summen af sinusbølge serien konvergerer til den nøjagtige værdi af en diskontinuerlig funktion"

Konvergens af Fourier serier: eksempel

Spørgsmålet om konvergens stiger, hver gang du har brug for summation af en uendelig række tal. overveje et klassisk eksempel for at forstå dette fænomen. Kan du nogensinde nå muren, hvis hvert trin er halvdelen af den tidligere? Antag, at du er to meter fra mål, det første skridt tættere på omkring halvvejs, den næste - mærket af en tre fjerdedele, og efter den femte, du vil overvinde næsten 97 procent af vejen. Men uanset hvor mange skridt du har gjort hverken, det tilsigtede mål du nå på en streng matematisk forstand. Ved hjælp af numeriske beregninger, kan vi bevise, at i sidste ende kan være tættere på en vilkårligt lille given afstand. Det svarer til et bevis der viser, at den samlede værdi af den ene halvdel, en fjerdedel, og så videre. E. vil være tilbøjelige til enhed.

Spørgsmålet om konvergens: den anden komme, eller et instrument af Lord Kelvin

Gentagne gange opstod spørgsmålet i slutningen af det nittende århundrede, da den Fourierrækker har forsøgt at bruge til at forudsige intensiteten af ebbe og flod. På det tidspunkt blev Lord Kelvin opfundet enhed er en analog computer, der tillod sejlere flåde og handelsflåden skærm er et naturligt fænomen. Denne mekanisme defineret sæt af faser og amplituder af bordhøjden af tidevandet og de tilsvarende tid øjeblikke, omhyggeligt målt i havnen hele året. Hver parameter er en sinusformet komponent ekspression tidevand højder og var en af de regelmæssige komponenter. Måleresultaterne er input til computerindretningen Lord Kelvin, syntetisering kurve, der forudsagde højden af vand som en funktion af det følgende år. Meget snart blev disse kurver udarbejdet for alle havne i verden.

Og hvis processen vil blive brudt diskontinuert funktion?

På det tidspunkt virkede det indlysende, at enheden forudsige en flodbølge, med mange elementer af kontoen kan beregne et stort antal faser og amplituder, og så give en mere præcis forudsigelse. Ikke desto mindre viste det sig, at dette mønster ikke overholdes i tilfælde, hvor den tidevandsenergi udtryk, der vil blive syntetiseret, indeholdt en skarp hoppe, det vil sige, er diskontinuert. I tilfælde af, at apparatet til at indtaste data fra en tabel over tidspunkter, det beregner få Fourier koefficienter. Gendannelse den oprindelige funktion på grund af den sinusformede komponent (i overensstemmelse med de fundne koefficienter). Forskellen mellem den oprindelige og den rekonstruerede ekspression kan måles på noget tidspunkt. Hvornår kan ses de gentagne beregninger og sammenligninger, at værdien af den største fejl er ikke reduceret. Men de er lokaliseret i regionen svarende til brudpunktet, og ethvert andet punkt tendens til nul. I 1899 blev dette resultat bekræftet teoretisk Joshua Willard Gibbs fra Yale University.

Konvergens af Fourier-serien og udviklingen af matematik som helhed

Fourier-analyse gælder ikke for udtryk, der indeholder et uendeligt antal bursts med et bestemt tidsinterval. Generelt Fourier serier, hvis den oprindelige funktion repræsenteres af resultatet af de faktiske fysiske målinger, altid konvergerer. Spørgsmål om konvergensen af denne proces for specifikke klasser af funktioner har ført til nye grene af matematik, såsom teorien om generelle funktioner. Det er forbundet med navne som Schwartz, J. .. Mikusiński og J. Temple. Under denne teori, er en klar og præcis teoretiske grundlag for sådan ekspression blevet etableret som Dirac delta funktion (det beskriver området af et enkelt område, koncentreret i et uendeligt lille område af punktet) og "trin" Heaviside. Gennem dette arbejde blev Fourierrækker anvendelig måde at løse ligninger og problemer, som involverer intuitive begreber: punkt charge, punkt masse, magnetiske dipoler, og den koncentrerede belastning på bjælken.

Fourier metode

Fourierrækker, i overensstemmelse med principperne for interferens, begynde med nedbrydning af komplekse former i enklere. For eksempel kan en ændring i varmestrømning på grund af dets passage gennem de forskellige barrierer af det varmeisolerende materiale af uregelmæssig form eller skiftende jordoverflade - et jordskælv, en ændring i kredsløb om himmellegeme - indflydelsen af planeterne. Typisk er disse ligninger, der beskriver simpel klassiske system elementære løst for hver enkelt bølgelængde. Fourier har vist, at enkle løsninger kan opsummeres som for mere komplekse opgaver. På det sprog, matematik, Fourierrækker - en metode for indgivelse af udtryk sum af harmoniske - cosinus og sinus bølger. Derfor er denne analyse også kendt under navnet "harmonisk analyse".

Fourierrækker - en ideel metode til "computer alder"

Forud for etableringen af computerteknologi Fourier metode er det bedste våben i arsenal af forskere, der arbejder med den bølge karakter af vores verden. Fourier serie i kompleks form giver dig mulighed for ikke kun at løse simple problemer, der er modtagelige for direkte anvendelse af Newtons love for mekanik, men også de fundamentale ligninger. De fleste af de opdagelser newtonske videnskab af det nittende århundrede blev det muligt kun på grund af Fourier-metoden.

Fourierrækker i dag

Med udviklingen af Fouriertransformation computere er steget til et nyt niveau. Denne teknik er solidt forankret i næsten alle områder inden for videnskab og teknologi. Som et eksempel, en digital lyd og video. Dens gennemførelse er blevet gjort mulige kun takket være den teori, som er udviklet af den franske matematiker af begyndelsen af det nittende århundrede. Således har Fourierrække i kompleks form tillades at skabe et gennembrud i studiet af det ydre rum. Derudover har det påvirket studiet af fysik af halvledermaterialer og plasma, mikroovn akustik, oceanografi, radar, seismologi.

Trigonometriske Fourierrækker

I matematik, en Fourier-serien er en måde at repræsentere vilkårlige komplekse funktioner som en sum af enklere. I generelle tilfælde kan antallet af udtryk være uendelig. Jo større antal tælles i beregningen, er det mere præcist det endelige resultat. Den mest almindelige brug af simple trigonometriske cosinus eller sinusfunktion. I dette tilfælde er det Fourier serie kaldet trigonometriske, og afgørelsen af sådanne udtryk - harmonisk nedbrydning. Denne metode spiller en vigtig rolle i matematik. Først og fremmest den trigonometriske serien giver et middel til billedet, samt studiet af funktioner, det er det vigtigste enhed af teorien. Hertil kommer, det giver os mulighed for at løse en række problemer i matematisk fysik. Endelig har denne teori bidraget til udviklingen af matematisk analyse, det gav anledning til en række meget vigtige grene af matematiske videnskab (teorien om integraler, teorien om periodiske funktioner). Desuden er udgangspunktet for udviklingen af følgende teorier: sæt, funktioner af en reel variabel, funktionel analyse, og også lagde grunden til harmonisk analyse.