Den Riemann hypotese. Fordeling af primtal

I 1900, en af de største videnskabsmænd i det sidste århundrede, David Hilbert lavet en liste bestående af 23 uløste problemer i matematik. Arbejdet med dem har haft en enorm indflydelse på udviklingen af dette område af menneskelig viden. Efter 100 år i Clay Matematisk Institut præsenteret en liste med syv problemer, kendt som mål millennium. Til beslutning om hver enkelt af dem blev tilbudt gevinst på $ 1 million.

Det eneste problem, som var blandt de to lister af gåder, i århundreder ikke gav resten til forskere, blev Riemann hypotese. Hun venter stadig på sin beslutning.

Kort biografiske oplysninger

Georg Friedrich Bernhard Riemann blev født i 1826 i Hannover, i en stor familie af en fattig præst, og levede kun 39 år gammel. Han formåede at udgive 10 papirer. Men i løbet af livet af Riemann betragtes han en efterfølger af sin lærer Johann Gauss. På 25 år ung forsker forsvarede sin afhandling "Foundations of teorien om funktioner af en kompleks variabel." Senere formulerede han sin hypotese, der blev berømt.

primtal

Matematik kom, da mennesket lærte at tælle. Så opstod den første idé om de tal, som senere forsøgte at klassificere. Det er blevet observeret, at nogle af dem har fælles egenskaber. Især blandt de naturlige tal m. E. Disse der blev anvendt i beregningen (nummerering) eller det angivne antal genstande er blevet tildelt en gruppe af sådanne, som er opdelt kun af én og sig selv. De blev kaldt enkel. En elegant bevis for sætningen uendelig sæt tal givet af Euklid i sine "Elements". I øjeblikket er vi fortsætter deres søgen. Især den største af en række kendte ² 74207281 - 1.

Eulers formel

Sammen med begrebet uendeligt mange primtal Euklid defineret og den anden sætning den eneste mulige faktorisering. Ifølge det ethvert positivt heltal er produktet af kun ét sæt af primtal. I 1737, den store tyske matematiker Leonhard Euler udtrykte første af Euklids sætning om uendelighed formlen vist nedenfor.

Det kaldes zeta-funktion, hvor s - en konstant og p er alle simple værdier. Fra det direkte fulgt og godkendelse af det unikke i udvidelsen af Euclid.

Riemanns zetafunktion

Eulers formel ved nærmere eftersyn er ganske bemærkelsesværdigt, som givet ved forholdet mellem det enkle og heltal. Efter alt, i hendes venstre side ganges uendeligt mange udtryk, der er afhængige kun på enkel, og i den rigtige mængde er forbundet med alle positive heltal.

Riemann gik på Euler. For at finde nøglen til problemet med fordelingen af de numre, foreslås det at definere formlen for både den virkelige og kompleks variabel. Det var hende, der senere blev kendt som Riemann zeta-funktion. I 1859 offentliggjorde videnskabsmand en artikel med titlen "På det antal primtal, der ikke overstiger en forudbestemt værdi", som opsummerede alle deres ideer.

Riemann foreslog brugen af en række Euler, konvergent for alle reelle s> 1. Hvis der anvendes den samme formel for komplekse s, derefter serien vil konvergere som helst værdi af variablen med den reelle del er større end 1. Riemann anvendes den analytiske videre procedure ved at udvide definitionen af zeta (er) for alle komplekse tal, men "kaster" enhed. Det var ikke muligt, fordi hvis s = 1 zeta funktion stigninger til uendeligt.

praktiske sans

Spørgsmålet er: hvad der er interessant og vigtig zeta-funktion, hvilket er afgørende i arbejdet i Riemann om nulhypotesen? Som du ved, i øjeblikket ikke fundet et simpelt mønster, der beskriver fordelingen af primtal blandt de naturlige. Riemann stand til at detektere, at antallet af pi (x) af primtal, som ikke overlegen i forhold til x, er udtrykt ved fordelingen af nontrivial nul zeta-funktion. Desuden Riemann hypotese er en nødvendig betingelse for at bevise midlertidige evalueringer af visse kryptografiske algoritmer.

Den Riemann hypotese

En af de første formuleringer af denne matematiske problem, ikke vist sig at denne dag, er: triviel 0 zeta funktion - komplekse tal med reel del svarende til ½. Med andre ord, de er anbragt på en lige linie Re s = ½.

Der er også en generaliseret Riemann hypotese, som er den samme erklæring, men for generalisering af Zeta-funktioner, som kaldes den Dirichlet (se. Foto nedenfor) L-funktioner.

I formlen χ (n) - en numerisk karakter (mod k).

Riemanns erklæring er den såkaldte nul-hypotesen, som er blevet verificeret til sammenhængen med de eksisterende eksempeldata.

Som jeg argumenterede Riemann

Bemærk tyske matematiker blev oprindeligt formuleret ganske henkastet. Faktum er, at på det tidspunkt videnskabsmanden skulle bevise en sætning om fordelingen af primtal, og i denne sammenhæng, er denne hypotese ikke have megen effekt. Men dens rolle i løsningen af de mange andre spørgsmål er enorm. Det er grunden til Riemann hypotese for nu mange forskere anerkender den vigtige af uprøvede matematiske problemer.

Som det er blevet sagt, at bevise teorem om fordelingen af den fulde Riemann hypotese er ikke nødvendig, og ganske logisk bevise, at den reelle del af enhver ikke-triviel nul af zeta-funktionen er mellem 0 og 1. Denne egenskab betyder, at summen af alle 0-m zetafunktion der vises i nøjagtig formel ovenfor, - finite konstant. For store værdier af x, kan det hele være tabt. Det eneste medlem af formel, som vil forblive uændret selv ved meget høje x, x er sig selv. Resten af de komplekse vilkår i forhold til det asymptotisk forsvinde. Således den vægtede sum tendens til x. Dette faktum kan betragtes som bevis for sandheden om primtal teorem. Således nuller af Riemanns zeta funktion vises en særlig rolle. Det er at bevise, at disse værdier ikke kan bidrage væsentligt til ekspansion formel.

Riemann tilhængere

Den tragiske død af tuberkulose forhindrede videnskabsmand bringe til den logiske slutningen af programmet. Men han tog stafetten fra W-F. de la Vallée Poussin og Zhak Adamar. Uafhængigt af hinanden, de havde trukket Primtalssætningen. Hadamard og Poussin formået at bevise, at alle nontrivial 0 zetafunktion er beliggende inden for kritiske bånd.

Takket være det arbejde af disse videnskabsfolk, en ny gren af matematikken - analytisk teori om tal. Senere har andre forskere fået lidt mere primitiv bevis for sætning arbejdede i Rom. Især har Pal Erdös og Atle Selberg åbnede selv bekræftede sin meget kompleks kæde af logik, ikke kræver brug af kompleks analyse. Men på dette tidspunkt ideen om Riemann ved flere vigtige sætninger er blevet bevist, herunder indbyrdes tilnærmelse af de mange funktioner i talteori. I forbindelse med dette nye arbejde Erdös og Atle Selberg stort set alt ikke påvirket.

En af de enkleste og smukkeste bevis på problemet er fundet i 1980 af Donald Newman. Det var baseret på den velkendte Cauchy teorem.

Truet hvis Riemanns hypotese er grundlaget for moderne kryptografi

Datakryptering opstod med fremkomsten af tegn, eller rettere, kan de selv blive betragtet som den første kode. I øjeblikket er der en hel ny tendens i digital kryptografi, som er engageret i udviklingen af krypteringsalgoritmer.

Enkle og "semisimple" nummer m. E. De der kun opdelt i to andre antal af samme klasse, er grundlaget for et offentligt nøglesystem, kendt som RSA. Det har en bred anvendelse. Især er det anvendes i dannelsen af en elektronisk signatur. Hvis vi taler om de tilgængelige "tepotte", Riemann hypotese hævder eksistensen af systemet i fordelingen af primtal. Således væsentligt reduceret modstand af krypteringsnøgler, som afhænger sikkerheden af online transaktioner i e-handel.

Andre uløste matematiske problemer

Komplet artikel er værd at afsætte et par ord til andre opgaver årtusinde. Disse omfatter:

• Ligestilling af klasser P og NP. Problemet er formuleret på følgende måde: Hvis et positivt svar på et givent spørgsmål verificeres i polynomiel tid, så er det rigtigt, at han selv kan svaret på dette spørgsmål skal findes hurtigt?
• Hodge formodninger. I enkle vendinger kan det konstateres, på følgende måde: for nogle typer af projektive algebraiske mangfoldigheder (mellemrum) Hodge cyklusser er kombinationer af objekter, der har en geometrisk fortolkning, dvs. algebraiske cyklus ...
• Poincaréformodningen. Det er den eneste bevist i det øjeblik årtusinde problemer. Ifølge det nogen tredimensionalt objekt, der har specifikke egenskaber ved den 3-dimensionelle sfære, skal kuglen være nøjagtig til deformation.
• Godkendelse af kvante Yang - Mills teori. Vi er nødt til at bevise, at kvanteteorien, fremsat af disse videnskabsfolk til rummet ^R4, der er en 0-masse defekt for nogen simpel kalibrering af en kompakt gruppe G.
• Hypotesen om Birch - Swinnerton-Dyer. Dette er et andet problem, der er relevant for kryptering. Det drejer sig om elliptiske kurver.
• Problemet med eksistensen og glathed af løsninger af Navier - Stokes ligninger.

Nu ved du Riemann hypotese. I enkle vendinger, har vi formuleret og nogle af de andre mål i det nye årtusinde. Det faktum, at de vil blive løst eller det er godtgjort, at de har nogen løsning - det er et spørgsmål om tid. Og det er usandsynligt, at vente alt for længe, da matematikken bruger i stigende grad beregningskraft af computere. Men ikke alt er underlagt kunsten og til at løse videnskabelige problemer kræver primært intuition og kreativitet.