Grundlæggende begreber sandsynlighedsteori. Lovene i sandsynlighedsteori

Mange mennesker, når de står med begrebet "sandsynlighedsregning", bange, tænker, at det er noget utåleligt, meget svært. Men det er faktisk ikke så tragisk. I dag ser vi på de grundlæggende begreber i sandsynlighedsteori, lære at løse problemer ved konkrete eksempler.

videnskab

Hvad studerer en gren af matematikken som en "sandsynlighedsregning"? Det noterer mønstre af tilfældige begivenheder og variabler. For første gang spørgsmålet om Concerned Scientists i det attende århundrede, hvor studerede gambling. Grundlæggende begreber sandsynlighedsteori - event. Det er ethvert forhold, der er anført af erfaring eller observation. Men hvad er erfaring? En anden grundlæggende koncept af teorien om sandsynlighed. Det betyder, at denne del af omstændighederne ikke er et uheld skabt, og med et formål. Med hensyn til overvågning, der er forskeren selv deltager ikke i oplevelsen, men blot et vidne til disse begivenheder, har det ingen effekt på, hvad der sker.

begivenheder

Vi lærte, at det grundlæggende koncept af teorien om sandsynlighed - begivenheden, men ikke anså klassificering. Alle af dem er opdelt i følgende kategorier:

• Pålidelig.
• Umuligt.
• Random.

Ligegyldigt hvad begivenheden er, som bliver fulgt eller skabt i løbet af forsøget, bliver de påvirket af denne klassifikation. Vi tilbyder alle typer af mødes hver for sig.

bestemt begivenhed

Dette er et faktum, at der for at gøre det nødvendige sæt af aktiviteter. For bedre at forstå essensen, er det bedre at give et par eksempler. Dette er underordnet loven og fysik, kemi, økonomi og højere matematik. sandsynlighedsteori omfatter sådan et vigtigt begreb som en vigtig begivenhed. Her er nogle eksempler:

• Vi arbejder og modtager vederlag i form af løn.
• Nå bestået eksamen, bestået en konkurrence om det at modtage vederlag i form af optagelse på en uddannelsesinstitution.
• Vi har investeret penge i banken, få dem tilbage, hvis det er nødvendigt.

Sådanne begivenheder er sande. Hvis vi har opfyldt alle de nødvendige betingelser, skal du sørge for at få det forventede resultat.

umulig hændelse

Nu mener vi elementerne i teorien om sandsynlighed. Vi tilbyder at gå til de præciseringer, i følgende typer af arrangementer - nemlig umulige. For at starte fastsætte den vigtigste regel - sandsynligheden for en umulig hændelse er nul.

Fra denne formulering kan ikke fraviges i at løse problemer. For at illustrere eksempler på sådanne begivenheder:

• Vand fryses ved en temperatur på plus ti (det er umuligt).
• Manglen på elektricitet påvirker ikke produktionen (som umuligt, som i det foregående eksempel).

Flere eksempler er givet, er det ikke nødvendigt, som beskrevet ovenfor meget tydeligt afspejler essensen af denne kategori. Umuligt begivenhed aldrig sker under eksperimentet under nogen omstændigheder.

Tilfældige begivenheder

Ved at studere de elementer af sandsynlighedsteori, bør der lægges særlig vægt på den givne type hændelse. Det er dem, der studerer denne videnskab. Som et resultat af den oplevelse af noget kan ske eller ej. Desuden testen et ubegrænset antal gange, der kan udføres. Bemærkelsesværdige eksempler indbefatter:

• Toss mønten - det er en oplevelse, eller test, tab af en ørn - denne begivenhed.
• Trække bolden fra posen blindt - test, blev fanget rød bold - denne begivenhed og så videre.

Sådanne eksempler kan være et ubegrænset antal, men generelt skal forstås. For at opsummere og systematisere den erhvervede viden om begivenhederne i en tabel. sandsynlighed teori undersøgelser kun den sidstnævnte form for alle præsenterede.

love

Sandsynlighedsregning - den videnskab, som studerer muligheden for tab af enhver begivenhed. Ligesom de andre, det har nogle regler. Følgende love sandsynlighedsteori:

• Konvergensen af følger af stokastiske variable.
• Den store tals lov.

Ved beregning af muligheden for en kompleks kan bruges komplekse enkle arrangementer til at opnå resultater nemmere og hurtigere måde. Det skal bemærkes, at lovgivningen i sandsynlighedsteori kan let bevises ved hjælp af nogle af de teoremer. Vi foreslår at begynde at komme i nærkontakt med den første lov.

Konvergensen af følger af stokastiske variable

Bemærk, at et sammenfald af flere typer:

• Sekvensen af tilfældige variable konvergens i sandsynlighed.
• Næsten umuligt.
• RMS konvergens.
• Konvergens i distributionen.

Så på flue, er det meget vanskeligt at forstå essensen. Her er definitioner, der vil hjælpe til at forstå emnet. Til at begynde med det første kig. Sekvensen kaldes konvergens i sandsynlighed, hvis følgende betingelse: n nærmer uendelig antallet søges af sekvensen er større end nul og tæt på enheden.

Gå til næste visning, næsten helt sikkert. De siger, at sekvensen konvergerer næsten sikkert til en tilfældig variabel med n tendens til uendelig, og R, tendens til en værdi tæt på én.

Den næste type - en konvergens af RMS. Ved brug af SC-learning konvergens af vektor tilfældige processer reducerer til studiet af tilfældige koordinere processer.

Var den sidste type, lad os se kortvarigt og at gå direkte til løsning af problemer. Konvergens i distributionen har et andet navn - "svage", så forklare hvorfor. Svag konvergens - er konvergensen af de distribution på alle punkter af kontinuitet af grænseværdien fordelingsfunktionen.

Sørg for at holde det løfte: svag konvergens er forskellig fra alt det ovenstående, at den stokastiske variabel ikke er defineret på sandsynligheden plads. Dette er muligt, fordi betingelsen er dannet udelukkende ved hjælp af fordelingsfunktioner.

Den store tals lov

Stor hjælper i beviset for loven vil være teoremer af sandsynlighedsteori, såsom:

• Chebyshev ulighed.
• Chebyshev sætning.
• Generaliseret Chebyshev teorem.
• Markov teorem.

Hvis vi betragter alle disse teoremer, så problemet kan tage flere snese ark. Vi har den vigtigste opgave - er anvendelsen af sandsynlighedsteori i praksis. Vi tilbyder dig lige nu og gøre det. Men før vi overveje de aksiomer sandsynlighedsteori, de er vigtige partnere i at løse problemer.

aksiomer

Fra den første, har vi allerede set, når vi taler om den umulige hændelse. Lad os huske: sandsynligheden for en umulig hændelse er nul. Eksempel vi gav en meget levende og mindeværdig: sneen faldt ved en lufttemperatur tredive grader Celsius.

Den anden er som følger: en bestemt begivenhed indtræffer med sandsynlighed enhed. Nu vil vi vise, hvordan det er skrevet med hjælp af matematiske sprog: P (B) = 1.

Tredje: En tilfældig hændelse kan ske eller ej, men den mulighed er altid variere fra nul til én. Jo tættere den er til enhed, jo flere chancer; hvis værdien er tæt på nul, at sandsynligheden er meget lav. Vi skriver dette i matematisk sprog: 0

Overvej den sidste, fjerde aksiom, der er: summen af sandsynligheden for to begivenheder er lig med summen af deres sandsynligheder. Skriv matematiske udtryk: P (A + B) = P (A) + P (B).

De aksiomer af sandsynlighed teori - det er en simpel regel, der ikke vil være svært at huske. Lad os prøve at løse nogle problemer, der er baseret på allerede erhvervede viden.

lotteriseddel

Først på den simpleste eksempel - et lotteri. Forestil dig, at du har købt en lotteriseddel for held og lykke. Hvad er sandsynligheden for, at du vil vinde mindst tyve rubler? Samlet cirkulation er involveret i tusind billetter, hvoraf den ene har en gevinst på fem hundrede rubler, ti hundrede rubler, tyve og halvtreds rubler, og hundrede - fem. Opgaven med teorien om sandsynlighed baseret på, hvordan man kan finde en måde at held. Nu skal vi sammen analysere afgørelsen over Opgaver visningen.

Hvis vi betegne som en gevinst på fem hundrede rubler, så er sandsynligheden for A er lig med 0,001. Hvordan får vi? Bare brug antallet af "heldige" billetter divideret med det totale antal (i dette tilfælde: 1/1000).

I - en gevinst på hundrede rubler, vil sandsynligheden være lig med 0,01. Nu har vi handlet på samme måde som den sidste handling (10/1000)

C - payoff er tyve rubler. Find sandsynligheden, det er lig med 0,05.

Resten af billetterne, vi er ikke interesserede, da deres præmiepenge er mindre end angivet i den tilstand. Anvende en fjerde aksiom: Sandsynligheden for at vinde mindst tyve rubler er P (A) + P (B) + P (C). Bogstavet P betegner sandsynligheden for oprindelsen af begivenheden, har vi i de foregående trin allerede fundet dem. Det er fortsat kun at fastsætte de nødvendige data, den respons, vi får 0,061. Dette tal vil være svaret på spørgsmålet om arbejdspladser.

spil kort

Problemer på sandsynlighedsteori, er der også mere komplekse, for eksempel tage det næste job. Før du dæk af seksogtredive kort. Din opgave - at trække to kort i træk, uden at blande bunke, første og andet kort skal være esser, jakkesæt ikke noget.

Til at begynde, at finde sandsynligheden for, at det første kort er et es, denne kløft ved fire og seks og tredive. Sæt den til side. Vi får et andet kort er et es med sandsynligheden for 335:e. Sandsynligheden for den anden begivenhed afhænger af, hvilket kort vi trak den første, vi er interesseret i, det var et es eller ej. Heraf følger, at i tilfælde, afhænger af begivenheden A.

Det næste skridt vi finde sandsynligheden for samtidig gennemførelse, dvs. formere A og B. Deres arbejde er som følger: sandsynligheden for en hændelse ganget med den betingede sandsynlighed for en anden, vi beregner, under forudsætning af, at den første begivenhed har fundet sted, dvs. det første kort vi trak et es.

For at blive alt er klar, giver betegnelsen et sådant element som den betingede sandsynlighed for begivenheden. Det beregnes ved at antage, at begivenheden A skete. Den beregnes som følger: P (B / A).

Vi udvider løsningen på vores problem: P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) eller P (A _* B) = P (B) _* P (A / B). Sandsynligheden er _{(4/36) * ((3/35)} / (4/36) beregnes ved afrunding til nærmeste hundrededel Vi har: .. _{0,11 * (0,09 / 0,11) =} 0,11 * 0 , 82 = 0,09. sandsynligheden for, at vi trækker ud to esser i træk er lig med ni hundrededele. værdien er meget lille, følger det, at sandsynligheden for hændelse er ekstremt lav.

glemt rum

Vi tilbyder lave nogle flere muligheder for job, der studerer teorien om sandsynlighed. Eksempler på løsninger på nogle af dem, du har set i denne artikel, skal du prøve at løse følgende problem: Drengen glemte telefonnummeret til det sidste ciffer i sin ven, men da opkaldet var meget vigtigt, så begyndte at samle op hver efter tur. Vi er nødt til at beregne sandsynligheden for, at han ville kalde mere end tre gange. den enkleste løsning af problemet, hvis du kender de regler, love og aksiomer af sandsynlighedsteori.

Før du ser en løsning, forsøge at løse på egen hånd. Vi ved, at sidstnævnte tal kan være fra nul til ni, for i alt ti værdier. Sandsynlighed score kræves er 1/10.

Næste vi nødt til at overveje mulighederne for oprindelsen af de begivenheder, lad os antage, at drengen gættede rigtigt og vandt retten, at sandsynligheden for sådanne begivenheder er lig med 1/10. Den anden mulighed: det første opkald slip, og det andet mål. Vi beregner sandsynligheden for sådanne begivenheder: 9/10 ganget med 1/9 i den sidste ende får vi som 1/10. Den tredje mulighed: den første og andet opkald viste sig at være den forkerte adresse, kun den tredje dreng var, hvor han ønskede. Beregn sandsynligheden for sådanne begivenheder: 9/10 ganget med 8/9 og 1/8, vi får som følge af 1/10. Andre muligheder på betingelse af det problem, vi er ikke interesserede, er dette dog for os at fastsætte disse resultater, vi i sidste ende har en 3/10. Svar: Sandsynligheden for, at en dreng ville kalde ikke mere end tre gange, svarende til 0,3.

Kort med tal

Før du ni kort, som hver især er skrevet et nummer fra en til ni, er tallene ikke gentaget. De sætter i en kasse og bland grundigt. Du er nødt til at beregne sandsynligheden for, at

• rullede et lige tal;
• et tocifret.

Inden vi går videre til den beslutning, fastsættes, at m - er antallet af vellykkede tilfælde, og n - er det samlede antal af muligheder. Lad os finde sandsynligheden for, at tallet er lige. Er det ikke svært at beregne, at lige numre på fire, og det er vores m, alle ni muligheder, der er, m = 9. Så sandsynligheden er lig med 0,44 eller 4/9.

Vi anser det andet tilfælde, at antallet af varianter af ni, og et vellykket resultat kan ikke være på alle, der er, m er nul. Sandsynligheden for, at den aflange kort vil indeholde et tocifret tal, som nul.