Reelle tal og deres egenskaber

Pythagoras hævdede, at antallet er grundlaget for verden på lige fod med de store elementer. Platon mente, at antallet af links fænomenet og den noumenon, hjælpe til at vide, der skal vejes, og at drage konklusioner. Aritmetik kommer fra ordet "arifmos" - nummeret, udgangspunktet i matematik. Det er muligt at beskrive ethvert objekt - fra elementære til æble abstrakte rum.

Behov som en udviklingsfaktor

I de indledende faser af udvikling af samfundet behov mennesker begrænset af behovet for at holde score - .. En pose korn, to korn taske, etc. For at gøre dette, det var naturlige tal, det sæt af hvilket er en uendelig sekvens af positive heltal N.

Senere udvikling af matematik som en videnskab, det var nødvendigt på det specifikke område af heltal Z - det omfatter negative værdier og nul. Hans optræden på nationalt plan, blev det provokeret af det faktum, at den oprindelige bogføring skulle en eller anden måde løse gæld og tab. På et videnskabeligt niveau, har negative tal gjort det muligt at løse simple lineære ligninger. Blandt andet er det nu muligt at billedet en triviel koordinatsystem, dvs.. A. Der var et referencepunkt.

Det næste skridt var behovet for at indtaste fraktioneret tal, da videnskaben ikke står stille, flere og flere nye opdagelser krævede et teoretisk grundlag for en ny push-vækst. Så der var et felt af rationale tal Q.

Endelig ikke længere opfylder kravene fra rationalitet, fordi alle nye fund kræver begrundelse. Der var et felt af reelle tal R, værker af Euklids inkommensurabilitet af visse mængder på grund af deres irrationalitet. Det vil sige, den gamle græske matematiker placeret ikke kun nummer som en konstant, men som en abstrakt værdi, som er karakteriseret ved forholdet mellem usammenlignelige størrelser. På grund af det faktum, at der er reelle tal, "vi så lyset" værdier som "pi" og "e", uden hvilken moderne matematik ikke kunne have fundet sted.

Den endelige nyskabelse var et komplekst tal C. Det svarede en række spørgsmål og modbevist tidligere indtastede postulater. På grund af den hurtige udvikling af algebra Resultatet var forudsigeligt - med reelle tal, afgørelsen af mange problemer, der ikke var mulig. For eksempel, takket være de komplekse tal stod ud strengteori og kaos udvidede ligninger af hydrodynamik.

Set Theory. kantor

Begrebet uendelighed har altid skabt kontroverser, da det var umuligt at bevise eller modbevise. I forbindelse med matematik, som drives strengt verificerede postulater, det manifesterede sig mest indlysende, jo mere, at den teologiske aspekt stadig vejes i videnskaben.

Men gennem arbejdet i matematiker Georg Cantor hele tiden faldt på plads. Han beviste, at de uendelige sæt er der et uendeligt sæt, og at feltet R er større end det område, N, lad dem begge og har ingen ende. I midten af det nittende århundrede, hans ideer offentligt kaldt nonsens og en forbrydelse mod klassiske uforanderlige kanoner, men tiden vil sætte alt på sin plads.

Grundlæggende egenskaber feltet R

Faktiske tal ikke kun har de samme egenskaber som den podmozhestva at de indbefatter, men er suppleret med andre masshabnosti i kraft af dens elementer:

• Nul R. eksisterer og hører under feltet c + = c 0 for enhver ci R.
• Nul eksisterer og hører til området R. c x 0 = 0 for enhver c fra R.
• Forholdet c: d når d ≠ 0 eksisterer og er gyldigt for enhver c, d af R.
• Field R bestilt, dvs. hvis c ≤ d, d ≤ c, c = d for enhver c, d af R.
• Ud i felt R er kommutativ, dvs. c + d = d + c for nogen c, d af R.
• Multiplikation i felt R er kommutativ, dvs. x c x d = d c for alle c, d af R.
• Ud i felt R er associativ dvs. (c + d) + f = c + (d + f) for ethvert c, d, f R.
• Multiplikation i felt R er associativ dvs. (c x d) x f = c x (d x f) for ethvert c, d, f R.
• For hvert antal felt R modsat det der, således at c + (-c) = 0, hvor c, -c fra R.
• For hvert antal felt R eksisterer dets omvendte, således at c x c ^-1 = 1 hvor c, c ^-1 af R.
• Enhed eksisterer og hører R, således at C x 1 = c, til ethvert c fra R.
• Det har styrkeloven distribution, så at c x (d + f) = c x d + c x f, for enhver c, d, f R.
• R-feltet er nul ikke er lig med enhed.
• Felt R er transitiv: hvis c ≤ d, d ≤ f, derefter c ≤ f for enhver c, d, f R.
• I R og tilsætningsrækkefølgen er indbyrdes forbundet: hvis c ≤ d, derefter c + f ≤ d + f for alle c, d, f R.
• I størrelsesordenen R og multiplikation forbundet: hvis 0 ≤ c, 0 ≤ d, derefter 0 ≤ c x d for enhver c, d af R.
• Som negative og positive reelle tal er kontinuerte, dvs. for enhver c, d af Rf, eksisterer der fra R, at c ≤ f ≤ d.

Modul felt R

De reelle tal omfatter sådan noget som et modul. Udpeget det som | f | for enhver f i R. | f | = F, hvis 0 ≤ f og | f | = -f, hvis 0> f. Hvis vi betragter modulet som en geometrisk værdi, er det en distance - det gør ikke noget, "bestået" dig som nul i det negative til det positive eller fremad.

Komplekse og reelle tal. Hvad er ligheder og forskelle?

I det store, komplekse og reelle tal - de er en og samme, bortset fra at den første sluttede den imaginære enhed i, kvadratet på hvilket er lig med -1. Elementer felter R og C kan repræsenteres ved den følgende formel:

• c = d + f x i, hvori d, f hører til feltet R, og i - imaginære enhed.

For at få den ci R i dette tilfælde blot antages at være nul, det vil sige, der er kun den reelle del af nummeret. Fordi området for komplekse tal har den samme funktion indstillet som inden for fast, f x i = 0, hvis f = 0.

Med hensyn praktiske forskelle, for eksempel i området R andengradsligning kan ikke løses, hvis diskriminant er negativ, medens C boksen ikke pålægger denne begrænsning ved at indføre den imaginære enhed i.

resultater

"Bricks" af aksiomer og postulater som grundlag matematik, ændres ikke. På nogle af dem på grund af stigningen af informationer og indførelsen af nye teorier lagt følgende "mursten", som i fremtiden kan blive grundlaget for det næste trin. For eksempel, naturlige tal, på trods af at de er en delmængde af den virkelige felt R, ikke mister sin relevans. Det er til dem grundlaget for al elementær aritmetik, som begynder med viden om en fredens mand.

Fra et praktisk synspunkt, de reelle tal ligne en lige linje. Det er muligt at vælge en retning, at identificere oprindelsen og banen. Direkte består af et uendeligt antal point, som hver især svarer til en enkelt reelt tal, uanset om eller ej rationelt. Ud fra beskrivelsen er det klart, at vi taler om konceptet, som er baseret matematik i almindelighed og matematisk analyse i særdeleshed.