Russells paradoks: grundlæggende oplysninger, eksempler, formulering

Russell paradoks er to indbyrdes afhængige logisk antinomi.

To former for Russells paradoks

Den hyppigst diskuterede form af en modsigelse i logiske sæt. Nogle af sættet synes at være medlemmerne selv, og andre - nej. Sættet af alle sæt er i sig selv et sæt, så det lader til, at det henviser til sig selv. Null eller tomme, bør dog ikke være medlem af sig selv. Derfor er mængden af alle sæt, som nul ikke inkluderet i sig selv. Paradokset opstår, når spørgsmålet om, hvorvidt det sæt af et medlem af sig selv. Dette er muligt, hvis og kun hvis det ikke er.

En anden form paradoks er en modsigelse vedrørende egenskaber. Nogle egenskaber, synes at referere til sig selv, mens andre ikke er. Ejendommen at være selve ejendommen er en egenskab, mens ejendommen være sig en kat er ikke. Overvej egenskab af at have en ejendom, der ikke tilhører ham. hvis det gælder for sig selv? Igen bør enhver af de antagelser være det modsatte. Paradokset blev opkaldt til ære for Bertrand Russell (1872-1970), der opdagede det i 1901.

historie

Åbning Russell opstod under hans arbejde med "Principles of Mathematics". Selvom han opdagede paradoks uafhængigt, er der tegn på, at andre matematikere og udviklere af mængdelære, herunder Ernst Zermelo og David Hilbert, var klar over den første version af modsætninger før ham. Russell, dog var den første, der diskuteres i detaljer paradokset i hans udgivne værker, først forsøgte at formulere løsninger og den første til fuldt ud at værdsætte dens betydning. En helt kapitel af "Principper" var helliget diskussionen af dette emne, og ansøgningen blev afsat til teorien om typer, som Russell foreslået som en løsning.

Russell opdagede "paradoks løgner', overvejer Cantor' s sæt teori, der siger, at effekten af et sæt er mindre end det sæt af dens delmængder. I det mindste i domænet skal være så mange delmængder, som der er elementer i det, hvis en delmængde af hvert element er indstillet indeholdende kun dette element. Endvidere Cantor bevist, at antallet af elementer ikke kan være lig med antallet af delmængder. Hvis der var det samme antal, ville det have at eksistere ƒ funktion, der ville vise elementer på deres delmængder. Samtidig kan det bevises, at dette er umuligt. Nogle elementer kan blive vist på funktion ƒ delmængder, der indeholder dem, mens andre ikke.

Overvej delmængde af elementer, som ikke hører til deres billeder, hvor de viser ƒ. Det er i sig selv en delmængde af elementer, og derfor ville ƒ funktion vise det på et element i domænet. Problemet er, at så opstår spørgsmålet om, hvorvidt dette element tilhører den delmængde, som det viser ƒ. Dette er kun muligt, hvis det ikke hører hjemme. Russells paradoks kan ses som et eksempel på den samme ræsonnement, kun forenklet. Hvad er mere - de sæt eller delmængder af sættet? Det ser ud til, at der bør være flere sæt, som alle undergrupper af sættene selv. Men hvis Cantor sætning er sand, så der bør være flere undergrupper. Russell betragtes simpelthen vise sæt på sig selv og anvendt kantoriansky tilgang overvejer mængden af alle disse elementer, uden for et sæt, hvor de vises. Viser Russell bliver det sæt af alle sæt, en ikke.

fejl Frege

"Det paradoksale i løgner" havde en dybtgående indvirkning på den historiske udvikling af teorien om sæt. Han viste, at begrebet den universelle sæt er yderst problematisk. Han satte også spørgsmålstegn ved forestillingen om, at for hver defineret tilstand eller prædikat kan antage eksistensen af en flerhed af kun de ting, der opfylder denne betingelse. Mulighed paradoks vedrørende egenskaber - en naturlig forlængelse til den version sæt - rejst alvorlig tvivl om, hvorvidt det er muligt at diskutere den objektive eksistens af en ejendom eller en universel overensstemmelsen af hver bestemt af den tilstand, eller prædikat.

Snart de modsætninger og problemer i arbejdet i de logicians fandtes, filosoffer og matematikere, som har gjort lignende antagelser. I 1902, Russell fandt, at en variant af det paradoks, kan udtrykkes i et logisk system, der er udviklet i bind I af Gottlob Frege er "Foundations of aritmetik", en af de vigtigste værker om logikken i slutningen af XIX - begyndelsen af XX århundrede. I filosofi Frege mange forstås som en "udvidelse" eller "value-range" koncept. Koncepterne er tættest på dem af korrelater. De forventes at eksistere for en given tilstand eller prædikat. Således er der er et begreb af et sæt, som ikke falder under dens definerer koncept. Der er også en klasse er defineret af dette koncept, og den kan blive definere sit koncept, hvis det ikke er.

Russell skrev til Frege om denne konflikt i juni 1902 Korrespondance er blevet en af de mest spændende og talte om i historien om logik. Frege straks erkendte de katastrofale konsekvenser af paradoks. Han bemærkede dog, at den version af kontroversen om de egenskaber i hans filosofi blev løst ved at skelne mellem begreberne niveauer.

Frege forestilling forstået som overgangen fra argumenter funktionen til TRUE. Begreberne første niveau tager som argumenter objekter af den anden koncepter niveau tager som argumenter til disse funktioner, og så videre. Således kan begrebet aldrig tage sig selv som et argument, og paradokset i forhold til de egenskaber kan ikke formuleres. Alligevel sæt, ekspansion eller begreber Frege forstås som en henvisning til den samme logiske type som alle andre objekter. Så for hver sæt er der et spørgsmål, om det falder ind under begrebet definere det.

Når Frege, Russell modtog det første bogstav, andet bind af "Foundations of aritmetik" er allerede færdig print. Han blev tvunget til hurtigt at forberede et program, der giver et svar på det paradoks Russell. Eksempler Frege indeholdt en række mulige løsninger. Men han kom til den konklusion at svække begrebet abstraktion sæt i et logisk system.

I den oprindelige, var det muligt at konkludere, at objektet tilhører sættet hvis og kun hvis det falder ind under begrebet, definerer det. Den reviderede system kan kun konkludere, at objektet tilhører sættet hvis og kun hvis det falder ind under begrebet definerer et antal, men ikke sat pågældende. Russells paradoks opstår.

Opløsningen er imidlertid ikke helt tilfreds med Frege. Og dette var årsagen. Flere år senere, har mere kompleks form for modsigelse er fundet for det reviderede system. Men selv før dette skete, Frege opgav sine beslutninger og synes at komme til den konklusion, at hans tilgang var simpelthen umuligt, og at logikken bliver nødt til at undvære nogen af sættene.

Stadig er blevet foreslået andre, relativt mere succesfulde alternative løsninger. Disse er beskrevet nedenfor.

Teorien om typer

Det blev bemærket ovenfor, at Frege var et passende svar på de paradokser af mængdelære i den version formuleret til egenskaber. Frege svar Forud de hyppigst diskuterede løsning på denne form for paradoks. Den er baseret på den kendsgerning, at egenskaberne er underlagt forskellige typer og hvilken type ejendom er aldrig det samme som de elementer, som den henviser.

Således heller ikke opstår spørgsmålet, om ejendommen er anvendelig til sig selv. Logisk sprog, der adskiller de elementer af et sådant hierarki, ved hjælp af teorien om typer. Selv om det allerede bliver brugt af Frege, første gang det er fuldt forklaret og dokumenteret Russell i bilaget til "princippet". Teorien om typer var mere komplet end sondringen af Frege niveauer. Hun delte egenskaber er ikke kun forskellige typer af logik, men også indstillet. skrive teori til at løse modsætningen i paradoks Russell følger.

For at være en filosofisk tilstrækkelig, vedtagelsen af teorien om typer af ejendomme kræver udvikling af teorien om karakteren af de egenskaber, så der kunne forklare, hvorfor de ikke kan anvendes på sig selv. Ved første øjekast er det fornuftigt at prædicere deres egen ejendom. Den egenskab at være selv-identitet, synes det, er det også en selv-identitet. Ejendommen synes at være en god fornøjelig. På samme måde, tilsyneladende, synes det forkert at sige, at den egenskab, at en kat er en kat.

Ikke desto mindre er forskellige tænkere begrundet opdeling af forskellige typer. Russell selv gav forskellige forklaringer på forskellige tidspunkter i sin karriere. For sin del, begrundelsen for den adskillelse af de forskellige opfattelser af Frege niveauer kommer fra hans teori om umættede begreber. Begreber som funktion i det væsentlige, er ufuldstændige. At give værdi, de har brug for et argument. Du kan ikke bare én koncept til prædicere begrebet af samme type, fordi det kræver stadig sin opfattelse. For eksempel, selv om det er muligt at tage kvadratroden af kvadratroden af et tal, du kan ikke bare bruge en kvadratroden funktion med kvadratroden funktion og få et resultat.

Om konservatisme egenskaber

En anden mulig løsning er paradoks egenskaber negation egenskaber eksistens under de givne betingelser, eller en velformet prædikat. Selvfølgelig, hvis nogen skyr metafysiske egenskaber af både objektive og uafhængige elementer som helhed, hvis vi tager nominalismen paradoks kan undgås fuldstændigt.

Men for at løse antinomi behøver ikke at være så ekstrem. Logic højere ordens systemer udviklet Frege og Russell, indeholder, hvad der kaldes en konceptuel princip, hvorefter hver åben formler uanset hvor kompleks eksisterer som en del af en ejendom eller koncept for eksempel kun de emner, der matcher formlen. De anvendes på attributterne for alle mulige sæt betingelser eller prædikater, uanset hvor kompleks de var.

Ikke desto mindre var det muligt at tage en mere stringent metafysik egenskaber, der giver ret til den objektive eksistens af simple egenskaber, herunder for eksempel, som rød farve, fasthed, venlighed og så videre. D. Du kan endda lade disse egenskaber gælder for dem selv, såsom venlighed kan være venlig.

Og samme status for komplekse egenskaber kan nægtes, for eksempel sådanne "egenskaber" som at have sytten-hoveder, der skrives under-vand og lignende. D. I dette tilfælde ingen forudbestemt tilstand ikke opfylder ejendommen, forstået som hver for sig eksisterende element, som har sine egne egenskaber. Således kan man benægte eksistensen af simple egenskaber være-ejendom-det-ikke-anvendt-til-selv og undgå paradoks ved at anvende mere konservative metafysiske egenskaber.

Russells paradoks: løsningen

Over det blev bemærket, at i slutningen af sit liv Frege helt opgivet logikken i sæt. Dette naturligvis en løsning på antinomi i form af sæt: en simpel nægtelse af eksistensen af sådanne elementer som helhed. Derudover er der andre populære valg, det grundlæggende er vist nedenfor.

Teorien for mange typer af

Som nævnt tidligere, Russell spillede for en mere komplet teori om typer, der ville dele ikke kun de egenskaber eller begreber til forskellige typer, men også indstillet. Russell delt sæt på en flerhed af separate enheder, en flerhed af sæt af separate objekter osv Sættene af genstande blev ikke anset, og et antal sæt - .. sæt. En masse aldrig haft den type, lader du har som medlem af sig selv. Derfor er der ingen sæt af alle sæt, der ikke er medlemmer af sin egen, fordi det for ethvert sæt af spørgsmål om, hvorvidt det er som medlem, er i sig selv en overtrædelse type. Igen, problemet her er at forklare de metafysik sæt for at forklare de filosofiske fundament opdelingen i typer.

lagdeling

I 1937 har V. V. Kuayn tilbudt en alternativ løsning, på en måde svarende til teorien om typer. Grundlæggende oplysninger om det er.

Adskillelse element sæt og andre. Made således, at antagelsen om at finde en flerhed altid er forkert eller meningsløs. Indstiller kun kan gives, når det fastlægger deres forhold er ikke en overtrædelse type. Således for Quine udtrykket "x er ikke medlem af x" er meningsfuld redegørelse betyder ikke eksistensen af sættet af alle elementer x opfylder denne betingelse.

I dette system eksisterer et sæt til nogle åbne formel A, hvis og kun hvis det er stratificeret, t. E. Hvis variablerne er tildelt positive heltal sådan, at for hver karakteristisk forekomst af en flerhed af de foregående det er tildelt en variabel tilordningsenheden mindre end den variable, følgende efter ham. Dette blokerer Russells paradoks, da den formel, der bruges til at bestemme problemet sæt, der er den samme før og efter den variable tegn medlemskab gør det Ustratificerede.

Men det har endnu ikke afgøre, om det resulterende system, som Quine kaldet "Nye Foundations of matematisk logik" konsekvent.

Afvisning

En helt anden tilgang tages i teorien om Zermelo - Fraenkel (ZF). Også her sætte en grænse for eksistensen af sæt. I stedet nærmer "top-down" af Russell og Frege, som i første omgang troede, at for alle begreber, egenskaber eller tilstande kan foreslå, at der findes det sæt af alle ting med denne egenskab, eller for at opfylde en sådan tilstand, i ZF-teori, alt starter "fra bunden op."

Individuelle elementer i den tomme mængde og danne et sæt. Derfor, i modsætning tidligere systemer og Russell Frege FIT ikke hører til den universelle sæt, som omfatter alle de elementer og endda alle sæt. ZF sætter strenge grænser for eksistensen af sæt. Kan kun eksistere dem, for hvilke det er klart postuleres, eller som kan formuleres ved hjælp af iterative processer og lignende. D.

Så i stedet for indvinding begrebet naive sæt, der angiver, at et bestemt element er inkluderet i sættet hvis og kun hvis den opfylder betingelserne i separationen princippet anvendes DF, separation eller "sortering". I stedet for at antage eksistensen af sættet af alle elementer, som er uden undtagelse opfylder en bestemt betingelse for hver eksisterende sæt Aussonderung indikerer eksistensen af en delmængde af alle elementer i det oprindelige sæt som opfylder betingelsen.

Derefter kommer abstraktion princip: hvis der findes den indstillede A, så, for alle x i A, x tilhører den delmængde A, som opfylder betingelsen, hvis og kun hvis x opfylder betingelsen C. Denne fremgangsmåde løser paradokset Russell, da vi kan ikke bare gå ud fra det vil sige, det sæt af alle sæt, der ikke er medlemmer af sig selv.

At have en masse sæt, kan du vælge eller opdele det i sæt, som i sig selv, og dem, der ikke sådan, men da der ikke er nogen universel sæt vi er ikke bundet sæt af alle sæt. Uden at antage problemet sætter Russell modsigelse kan ikke bevises.

andre løsninger

Derudover har der været efterfølgende udvidelser eller ændringer af disse løsninger, såsom en gaffel-typen teori om "Principles of Mathematics" systemets ekspansion "matematisk logik" Quine, samt den seneste udvikling i teorien om sæt, gjorde Bernays, Gödel og von Neumann. Spørgsmålet om, hvorvidt svaret på den uopløselige paradoks Bertrand Russell fundet, er stadig et spørgsmål om forhandling.