Baserer matematisk analyse. Sådan finder differentialkvotienten?

Derivat af en funktion f (x) på et bestemt punkt x0 funktion kaldet vækstforholdet grænse for tilvækst af argumentet, forudsat at x for at være 0, og grænsen eksisterer. Derivat generelt betegnet slagtilfælde, undertiden via punkt eller gennem et differentiale. Ofte den afledte af de grænseoverskridende misvisende resultater, idet en sådan repræsentation er sjældent brugt.

Funktion, som har den derivat ved et bestemt punkt x0, kaldes differentiabel i et sådant punkt. Antag, D1 - en flerhed af punkter, hvor funktionen f er differentieret. Tildele hver et af tallene x, tilhører D f '(x), vi opnå funktionen betegnelsen område D1. Denne funktion er derivat af y = f (x). Er udpeget som: f '(x).

Endvidere derivatet almindeligvis anvendes i fysik og teknik. Overvej et simpelt eksempel. Materialet punkt bevæger sig på en koordinatakse, når de bliver spurgt hvad loven af bevægelse, det vil sige, x-koordinaten af dette punkt er kendt x (t) funktion. I løbet af tidsintervallet fra t0 til t0 + t er lig med forskydningen af punktet x (t0 + t) -x (t0) = x, og dens gennemsnitlige hastighed v (t) lig med x / t.

Nogle gange karakteren af bevægelsen præsenteres således, at den gennemsnitlige hastighed ikke ændrer ved små tidsintervaller, hvilket betyder, at bevægelsen med en større grad af nøjagtighed anses for at være ensartet. Alternativt værdien af den gennemsnitlige hastighed, hvis t0 følger til nogle helt præcise værdi, og omtales som den øjeblikkelige hastighed v (t0) det punkt på et bestemt tidspunkt t0. Det antages, at den øjeblikkelige hastighed v (t) er kendt for enhver differentieret funktion x (t), på hvilket v (t) er lig med x '(t). Kort sagt, den hastighed - det er et derivat af koordinaterne for tiden.

Øjeblikkelige hastighed har både positive og negative værdier, og værdien er 0. Hvis det er på et bestemt tidsinterval (t1; t2) er positiv, det punkt bevæger sig i samme retning, dvs., x (t) koordinere øges med tiden, og hvis v (t) er negativ, koordinatsystemet x (t) falder.

I mere komplekse tilfælde punkt flytter i planet eller i rummet. Derefter hastigheden af - en vektorstørrelse og bestemmer hver af koordinaterne for en vektor v (t).

Tilsvarende kan man sammenligne accelerationen af punktet. Hastighed er en funktion af tiden, det vil sige, v = v (t). Et derivat af en sådan funktion - motion acceleration: a = v '(t). Det vil sige, det viser sig, at den tid derivat af hastigheden er accelerationen.

Antag y = f (x) - enhver differentieret funktion. Så kan vi betragte bevægelsen af et punkt på koordinat-akse, som finder sted for loven x = f (t). Mekanisk vedligeholdelse af derivat giver mulighed for at give en klar fortolkning af teoremer af differentialregning.

Sådan finder differentialkvotienten? At finde den afledede af en funktion kaldes dens differentiering.

Placer dine eksempler på, hvordan man finder den afledede af funktionen:

Den afledte af en konstant funktion lig med nul; afledede af funktionen y = x er lig med enhed.

Og hvordan man finder differentialkvotienten af fraktionen? For at gøre dette, overveje følgende materiale:

For enhver x0 <> 0 har vi

y / x = -1 / x0 * (x + x)

Der er nogle regler, hvordan man finder den afledede. nemlig:

Hvis funktioner A og B er differentieret punkt x0, derefter deres sum er differentieret ved et punkt: (A + B) '= A' + B'. Kort sagt, den afledte af et beløb svarende til summen af derivater. Hvis funktionen er differentieret på et tidspunkt, så må det tilvækst til nul, når følgende argumentet til nul gevinst.

Hvis funktioner A og B er differentieret punkt x0, så deres produkt er differentieret på: (A * B) '= A'B + AB'. (Værdier funktioner og deres derivater beregnes ved punktet x0). Hvis funktionen A (x) differentieres i punkt x0, og C - konstant, så CA funktionen differentieres på dette punkt, og (CA) '= CA'. Det vil sige, en konstant faktor, der tages uden for tegn på derivat.

Hvis funktioner A og B er differentieret punkt x0, og funktionen B ikke er lig med nul, så deres forhold også differentieres på: (A / B) '= (A'B-AB') / B * B.